Volumen einer vierseitiger Pyramide (Spatprodukt)

17.01.2008, 15:48

Verdo

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Volumen einer vierseitiger Pyramide (Spatprodukt)

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Berechnen Sie mithilfe des Spatprodukts das Volumen einer Pyramide mit viereckiger Grundfläche ABCD und der Spitze S. Die Eckpunkte lauten: A(4/3/1), B(1/7/1), C(-3/2/0), D(0/0/0), S(0/3/4).

Als Formel für das Volumen eines Spats hab ich geben $\begin{eqnarray*} V = \mid (\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix})* \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \mid \end{eqnarray*}$

a ist bei mir die Strecke AB $\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
b ist die Strecke AD $\begin{eqnarray*} b = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
c ist die Strecke AS $\begin{eqnarray*} c = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun ist die Frage, ob meine Überlegung stimmt, dass das Volumen einer vierseitigen Pyramide, ein Drittel des Volumen von einem Spatprodukt mit der selben Grundfläche und Höhe ist. Also: $\begin{eqnarray*} V_p = \frac{1}{3} *\mid (\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix})* \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \mid \end{eqnarray*}$

Ich bin nun einmal davon ausgegangen und habe dann zuerst (a)x(b) genommen (mit dem Kreuzprodukt) und dann * (c) (mit dem Skalarprodukt). Und das Ergebnis habe ich dann mal 1/3 genommen, und komme so auf 30,33 VE.

Stimmen meine Überlegungen und Vorgehensweisen so?

17.01.2008, 18:02

mYthos

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So wie beschrieben, kannst du nur dann vorgegehen, wenn das Viereck eben und ein Parallelogramm ist! Wie und wo hast du sonst den Punkt C berücksichtigt?

mY+

Hinweis:
Zerlege das Viereck in zwei Teildreiecke und rechne dann jeweils mit 1/6 des Spatproduktes ... (dazu muss das Viereck dann nicht einmal eben sein*, weil es dann ohnehin zwei verschiedene Pyramiden gibt)

* isses eh net

17.01.2008, 18:31

Verdo

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danke für den Hinweis, hat mir weitergeholfen
hab grad nicht viel Zeit um den Rechenweg hinzuschreiben, aber is das Volumen dann 28,83 VE?

17.01.2008, 18:49

mYthos

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Ich hab' exakt 29 (VE)!

$\begin{eqnarray*} V_1 (ABDS) = \frac{91}{6} \ E^3 \ \text{und} \ V_2 (BCDS) = \frac{83}{6} \ E^3 \end{eqnarray*}$

mY+

17.01.2008, 19:56

Verdo

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ich komm bei V2 nur auf 82/6

17.01.2008, 21:02

Verdo

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okay, hatte en ganz kleinen Rechenfehler drin, komm jetzt auch auf die genauen 29! Vielen Dank für die Hilfe!

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18.01.2008, 16:38

Verdo

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hab noch ein Problem mit der Aufgabe, und zwar, behauptet mein Mathelehrer die Lösung wäre 28. (Also so steht es im Lösungsbuch!) Nun im Lösungsbuch ist die Pyramide aufgeteilt in ABCS und ACDS wenn ich das so ausrechne komm ich auch auf 28 VE. Also
$\begin{eqnarray*} V(ABCS) = \frac{109}{6} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(ACDS) = \frac{59}{6} \end{eqnarray*}$
was stimmt denn nun jetzt? Es müsste doch eigentlich bei beidem das selbe rauskommen. verwirrt

verwirrt

verwirrt

18.01.2008, 16:57

riwe

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ich erhälte auch V=29
kannst du einmal hermalen, was ABCS und ACDS bedeuten sollen verwirrt

verwirrt

edit: zur klarstellung

$\begin{eqnarray*} V=V(DA,DB,DS)+V(DB,DC,DS)=\frac{1}{6}(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\2 \\ 0 \end{pmatrix} )\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} =29 \end{eqnarray*}$

18.01.2008, 17:15

Verdo

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$\begin{eqnarray*} V (ABCS) = V(BA,BC,BS) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} V (ADCS) = V(DA,DC,DS) \end{eqnarray*}$

edit: Grafik so sieht die Pyramide aus, und ich(bzw. mein Lehrer) hab da geteilt, wo unten die Linie eingezeichnet ist

http://verena.x-periences.de/Pyramide2.jpg

18.01.2008, 18:05

riwe

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nach langem brüten: verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

der punkt C liegt NICHT in der ebene $\begin{eqnarray*} 4x+3y-25z=0 \end{eqnarray*}$ , die von A, B und D aufgespannt wird geschockt

geschockt

also ein fehler in der angabe, der zu weißen haaren geführt hätte,
wenn ich sie nicht schon hätte unglücklich

unglücklich

18.01.2008, 18:07

Verdo

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okay, heißt das dass die Aufgabe so nicht lösbar ist? Hab gerade extra nochmal die Punkte überprüft, und ich hab keinen Tippfehler drin.

18.01.2008, 18:12

riwe

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Zitat:

Original von Verdo
okay, heißt das dass die Aufgabe so nicht lösbar ist? Hab gerade extra nochmal die Punkte überprüft, und ich hab keinen Tippfehler drin.

dem würde ich zustimmen, zumindest ist das keine pyramide.
und wo keine pyramide, da auch kein pyramidenvolumen unglücklich

unglücklich

18.01.2008, 18:14

Verdo

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dann vielen Dank für die Hilfe, dann versuch ich das mal am Montag meinem Mathelehrer weis zu machen

18.01.2008, 18:20

riwe

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schaut auf jedenfall NICHT wie EINE ebene aus geschockt

geschockt

E1: DAB, E2: DAC

18.01.2008, 20:23

mYthos

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Liebe Leute,

habt ihr es vielleicht überlesen? Von vornherein hatte ich darauf hingewiesen, dass die 4 Punkte NICHT in einer Ebene liegen und daher nur getrennt das Volumen von zwei Pyramiden zu berechnen ist.

Zitat:

Original von mYthos
So wie beschrieben, kannst du nur dann vorgegehen, wenn das Viereck eben und ein Parallelogramm ist!
...
... (dazu muss das Viereck dann nicht einmal eben sein* ...

* isses eh net

Da hätte der werner jetzt um ein paar graue Haare weniger!

mY+

18.01.2008, 20:27

riwe

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Zitat:

Original von mYthos
Liebe Leute,

habt ihr es vielleicht überlesen? Von vornherein hatte ich darauf hingewiesen, dass die 4 Punkte NICHT in einer Ebene liegen und daher nur getrennt das Volumen von zwei Pyramiden zu berechnen ist.

Zitat:

Original von mYthos
So wie beschrieben, kannst du nur dann vorgegehen, wenn das Viereck eben und ein Parallelogramm ist!
...
... (dazu muss das Viereck dann nicht einmal eben sein* ...

* isses eh net

Da hätte der werner jetzt um ein paar graue Haare weniger!

mY+

ja soll man denn immer alles lesen unglücklich

unglücklich

da auch schon vorher alle haare grau waren, macht´s eh nix

18.01.2008, 20:52

mYthos

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Ich habe noch einen anderen bedeutenderen Verdacht, der jedoch den Unterschied der beiden Volumina (28 bzw. 29 VE) erklären könnte:

Je nachdem, wie man das Viereck teilt, also entweder mittels der Diagonale AC oder der anderen BD, kommen ja verschiedene Körper zustande, weil die Pyramiden in den beiden Varianten verschiede Grundflächen und dabei auch verschiedene Höhen haben. Die Volumina der beiden Körper müssen in diesem Falle nicht notwendigerweise gleich sein.

@werner

Kannst du diese Ansicht teilen?

mY+

EDIT:
Eine Überlegung, die ich noch habe: Die 5 gegebenen Punkte schließen kein definites Volumen ein, solange nicht die Flächen, die den Körper bilden, eindeutig feststehen!

Gescheiter wär's jedenfalls, die 4 Basispunkte lägen in einer Ebene, sowieso.

18.01.2008, 23:21

Verdo

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Zitat:

Original von mYthos
Ich habe noch einen anderen bedeutenderen Verdacht, der jedoch den Unterschied der beiden Volumina (28 bzw. 29 VE) erklären könnte:

Je nachdem, wie man das Viereck teilt, also entweder mittels der Diagonale AC oder der anderen BD, kommen ja verschiedene Körper zustande, weil die Pyramiden in den beiden Varianten verschiede Grundflächen und dabei auch verschiedene Höhen haben. Die Volumina der beiden Körper müssen in diesem Falle nicht notwendigerweise gleich sein.

Heißt das jetzt das somit beide Lösungen richtig wären? Es muss doch en eindeutiges Ergebnis geben??? verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

Ich hab mir auch schon gedacht, dass ja jeweils von den 3 Punkten die ich dann nehmen um die 3seitigen Pyramiden zu erstellen, ich ja unterschiedliche Ebenen aufspanne, und es je nachdem weil sie ja wie gesagt net auf einer Ebene liegen, unterschiedliche Werte rauskommen. Aber wie kann ich das gescheit erklären? Denk nämlich nicht, dass mein Mathelehrer sich das so genau angeschaut hat und wahrscheinlich eher dem Lösungsbuch glauben wird, als mir.

@mY+
is es denn jetzt ne vierseitige Pyramide oder nicht?

19.01.2008, 00:10

mYthos

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Nein. Es ist ein Körper ähnlich einer Pyramide, der jedoch aus zwei dreiseitigen Pyramiden besteht. Diese haben aber, weil die 4 vermeintlichen Basispunkte NICHT in einer Ebene liegen, je nach Auswahl einer Diagonale als Trennlinie ein verschiedenes Aussehen und daher in der Summe kein gleiches Volumen.

mY+

19.01.2008, 10:18

Verdo

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okay, ich glaub jetzt hab ich's verstanden. Freude

Freude

Jetzt muss ich das bloß irgendwie am Montag meinem Mathelehrer weis machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Mal schaun ob das so einfach ist.
Auf alle Fälle vielen DANK für eure Hilfe

19.01.2008, 10:51

Leopold

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Werners Argument ist einfach unschlagbar. Definiere die Ebene

$\begin{eqnarray*} E: \ \ 4x_1 + 3x_2 - 25x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

und weise durch Einsetzen nach: $\begin{eqnarray*} A,B,D \in E \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} C \not \in E \end{eqnarray*}$

Die Rechnungen können alle zusammen in (höchstens) 30 Sekunden im Kopf durchgeführt werden. Das müßte sogar deinen Mathelehrer überzeugen ...

Schau aber vorher noch einmal nach, ob du alle Angaben der Aufgabe richtig abgeschrieben hast. Sonst wird es für dich ein bißchen peinlich ...

19.01.2008, 11:52

Verdo

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ja, das die Angaben alle richtig waren, hab ich schon 2mal nachgeschaut, und ich hab ja auch beide Varianten ausgerechnet, sogar teilweise 2mal und kommt auf die beiden verschiedenen Lösungen. Okay, dann schau ich mir des einfach kurz davor nochmal an und dann wird des schon.
DANKE

19.01.2008, 13:27

mYthos

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Ob die 4 Punkte in einer Ebene liegen oder nicht, ist zunächst mal der eine Aspekt. Dass sie das nicht tun, wissen wir doch schon seit geraumer Zeit - Leopold erzählt uns da eigentlich nichts mehr Neues. Wichtiger erscheint es, dennoch das Volumen des Körpers bestimmen zu können und das ist so nicht eindeutig möglich. Erst wenn die Schnittgerade beider "Basisebenen" feststeht (AC oder BD), erhalten wir das Volumen (29 oder 28 VE).

mY+

P.S.:
Dass werner und Leopold diese andere Sichtweise so konsequent ignorieren, befremdet mich etwas. Oder habe ich mich so unklar ausgedrückt, dass ihr nicht versteht, auf was ich hinauswill? Wenn's ein Unsinn sein sollte, könnt ihr mich bitte aufklären?

19.01.2008, 13:57

Leopold

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Zitat:

Original von mYthos
Ob die 4 Punkte in einer Ebene liegen oder nicht, ist zunächst mal der eine Aspekt. Dass sie das nicht tun, wissen wir doch schon seit geraumer Zeit - Leopold erzählt uns da eigentlich nichts mehr Neues.

Stimmt. Ich habe Verdo als Quick-Argumentationshilfe gegenüber seinem Lehrer nur noch einmal auf Werners Ebene hingewiesen.

Zitat:

Original von mYthos
Wichtiger erscheint es, dennoch das Volumen des Körpers bestimmen zu können und das ist so nicht eindeutig möglich. Erst wenn die Schnittgerade beider "Basisebenen" feststeht (AC oder BD), erhalten wir das Volumen (29 oder 28 VE).

In der Aufgabe ist von einer Pyramide die Rede. Da die vermeintliche Grundfläche aber gar nicht eben ist, gibt es auch keine Pyramide. Die Aufgabe ist daher nicht sinnvoll gestellt, also auch nicht zu lösen. Vermutlich liegt dem ganzen Übelstand nur irgendwo ein Schreibfehler in der Angabe zugrunde.

Du versuchst nun, die Aufgabe mit den vorgegebenen Daten nachträglich sinnvoll zu machen, und wählst eine von möglichen Interpretationen aus. Das ist so, als wenn jemand die Aufgabe stellen würde: Bestimme den Schnittpunkt der Geraden

$\begin{eqnarray*} g: \ y = -2x+1 \, , \ \ h: \ y = x^2 \end{eqnarray*}$

Offenbar ist die Aufgabenstellung nicht sinnvoll. Soll man nun glauben, daß bei $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ein Schreibfehler vorliegt? Soll man dann einfach aus $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ machen, also $\begin{eqnarray*} h: \ y = x \end{eqnarray*}$ ? Könnte aber nicht ebenso $\begin{eqnarray*} h: \ y = 2x \end{eqnarray*}$ gemeint sein? Oder sonst etwas? Oder ist der Text falsch und müßte es richtig "Bestimme den Schnittpunkt von Gerade und Parabel" heißen? Das weiß doch niemand.

19.01.2008, 15:18

Verdo

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Zitat:

Original von mYthos
Ob die 4 Punkte in einer Ebene liegen oder nicht, ist zunächst mal der eine Aspekt. Dass sie das nicht tun, wissen wir doch schon seit geraumer Zeit - Leopold erzählt uns da eigentlich nichts mehr Neues. Wichtiger erscheint es, dennoch das Volumen des Körpers bestimmen zu können und das ist so nicht eindeutig möglich. Erst wenn die Schnittgerade beider "Basisebenen" feststeht (AC oder BD), erhalten wir das Volumen (29 oder 28 VE).

mY+

P.S.:
Dass werner und Leopold diese andere Sichtweise so konsequent ignorieren, befremdet mich etwas. Oder habe ich mich so unklar ausgedrückt, dass ihr nicht versteht, auf was ich hinauswill? Wenn's ein Unsinn sein sollte, könnt ihr mich bitte aufklären?

ich glaub ich habs schon verstanden, je nachdem welche Schnittgerade ich nehme, spann ich ja unterschiedliche Ebenen auf, und dadurch, dass ich unterschiedliche Grundfläche hab, entsteht dann das unterschiedliche Volumen, oder?
Die Aufgabe ist also nicht eindeutig lösbar.

Die Aufgabenstellung ist wirklich nicht klar gestellt, bzw. wahrscheinlich ist ein Fehler drin, den wie gesagt im Lösungsbuch stehen 28VE die Autoren haben wahrscheinlich gar nicht gemerkt, dass sie da totalen Mist geschrieben haben. Und mein Lehrer hats wahrscheinlich auch net gemerkt.

19.01.2008, 15:33

riwe

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Zitat:

Original von mYthos
So wie beschrieben, kannst du nur dann vorgegehen, wenn das Viereck eben und ein Parallelogramm ist! Wie und wo hast du sonst den Punkt C berücksichtigt?

mY+

Hinweis:
Zerlege das Viereck in zwei Teildreiecke und rechne dann jeweils mit 1/6 des Spatproduktes ... (dazu muss das Viereck dann nicht einmal eben sein*, weil es dann ohnehin zwei verschiedene Pyramiden gibt)

* isses eh net

ehre, wem ehre gebührt! Gott

Gott

das hätte mir die grauen haare erspart, so ich noch andere hätte unglücklich

unglücklich

aber die aufgabe lautete:

Zitat:

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Berechnen Sie mithilfe des Spatprodukts das Volumen einer Pyramide mit viereckiger Grundfläche ABCD und der Spitze S. Die Eckpunkte lauten: A(4/3/1), B(1/7/1), C(-3/2/0), D(0/0/0), S(0/3/4).

da aber A, B, C und D NICHT in einer ebene liegen, ist die aufgabe so sinnlos, denke ich geschockt

geschockt

die aufgabe lautet ja nicht - mit multiple choice Big Laugh

Big Laugh

,
welche volumina sind bei ineinader verwutzelten pyramiden möglich
a) -5
b) 28
c) 29
d) > 30 (siehe dazu unten)

ich vermute halt stark, dass es sich um einen angabefehler handelt, den druckfehlerteufel, den soll es ja geben.

mit $\begin{eqnarray*} C(-3/4/0) \end{eqnarray*}$ hätte man diese - wie ich meine - doch sehr interessante diskussion schon vor ihrem entstehen abgewürgt,
wäre doch schade gewesen unglücklich

unglücklich

was dann, so C nun endlich und tatsächlich in $\begin{eqnarray*} E: 4x+3y-25z=0 \end{eqnarray*}$ liegen sollte, hoffentlich auf ein PYRAMIDENvolumen von

$\begin{eqnarray*} V=\frac{91}{3}>30 \end{eqnarray*}$ führt.

19.01.2008, 16:49

mYthos

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Gut, ihr habt mich aufgeklärt. Danke! Ich sehe es auch so, dass mit dieser Angabe keine Pyramide vorliegt, sondern nur ein auf die eine oder andere Art ebenflächig begrenzter Körper.
Was ich versucht habe, war, der Aufgabe dennoch einen gewissen Sinn zu geben, aber man sollte wirklich nicht zu viel da hinein interpretieren.

@werner

Ja, auch ich fand die sich aus dieser Diskrepanz ergebende Diskussion allenfalls ganz interessant!

mY+

19.01.2008, 23:41

Verdo

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mich hat dies alles nur ein bisschen verwirrt, aber ich glaub ich habs jetzt soweit verstanden, dass ich das am Montag meinem Lehrer erklären kann, hoff ich zumindest mal.

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