Verkettung von Funktionen durch Kontraposition beweisen |
17.01.2008, 16:12 | kueken | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verkettung von Funktionen durch Kontraposition beweisen Meine Aufgabe lautet: Beweisen Sie durch Kontraposition für Funktionen f,g: A -> A: g o f injektiv => f injektiv g o f surjektiv => surjektiv Meine Lösung: f,g: A->A g o f injektiv -> f injektiv Beweis durch Kontraposition: Annahme: nicht A: f nicht injektiv -> g o f nicht injektiv (g o f) (a1) = (g o f) (a2) => g(f(a1) = g(f(a2)) a1, a2 EA => f(a1) = f (a2) und a1 ungleich a2 (nach vorraussetzung) weil g nicht injektiv => a1 = a2 weil f nicht injektiv (hier ist der Wiederspruch und daher ist f injektiv) f,g: A -> A g o f surjektiv => g surjektiv Beweis durch Kontraposition: Annahme: nicht A: g nicht surjektiv -> g o f nicht surjektiv Sei c E C => Es gibt ein b EB: g (b) ungleich c (weil g nicht surjektiv) => Es gibt ein a EA f(a) ungleich b (weil f nicht sujektiv) => (g o f) (a) ungleich c (nach Def von g o f), hier liegt der Wiederspruch! Also liegt g o f surjektiv Stimmt meine Lösung?* |
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17.01.2008, 16:27 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
erstmal zu ersten aufgabe: das stimmt so nicht. 1. woher nimmst du, dass g nicht injektiv ist? 2. von der 2ten zur 3ten zeile benutzt du das injektiv ist, obwohl du doch zeigen willst, dass dies nicht so ist. 3. von der 3ten zur 4ten zeile benutzt du injektivität von f, obwohl du doch das gegenteil vorraussetzt. ich würde so anfangen: Sei f nicht injektiv, dann exstieren mit und . nun kannst du auf beiden seiten der gleichung die funktion g anwenden. |
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17.01.2008, 16:42 | kueken | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Annahme: f ist nicht injektiv, dann exstieren mit und . Beweis: a1 ungleich a2 => f(a1) = f(a2) und a1 ungleich a2=> g(f(a1) ) g(f(a2)) a1,a2 EA => (g o f) (a1) = (g o f) (a2) ..... ist der Ansatz richtig? |
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17.01.2008, 16:46 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
du denkst vielleicht das richtige, aber wenn ein beweis mit einer aussage anfängt, die im allgemeinen falsch ist, nämlich
, dann ist er schon falsch. solche existieren. das heißt aber nicht, dass aus ungleichheit allgemein die gleichheit der bilder folgt. |
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17.01.2008, 16:47 | kueken | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie mache ich denn dann den beweis?? sry, ber weiß jetzt echt nicht mehr wie ich vorgehen soll :-( |
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17.01.2008, 17:55 | kueken | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
[ Annahme: f ist nicht injektiv, dann exstieren mit und . Beweis: f ist nicht injektiv dann existiert aber nun gilt: f(a1) = a1 f(a2) = a2 hier ist der Widerspruch zur Voraussetzung, da hier a1=a2 ist und somit f injektiv Stimmts? |
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17.01.2008, 18:04 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein. das ist unsinn, denn warum sollte gelten? setze so an, wie bereits gesagt: f sei nicht injektiv, dann exstieren mit und . Wegen gilt dann aber auch jetzt kannst du aber alleine weitermachen, würde ich sagen. denke immer an das ziel, nämlich zu folgern, dass nicht injektiv ist. |
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17.01.2008, 18:18 | kueken | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
geht es dann so weiter?... (g o f) (a1) = (g o f) (a2) a1, a2 EA => g(f(a1) = g(f(a2)) a1, a2 EA => f(a1) = f (a2) und a1 ungleich a2 (nach vorraussetzung) weil g nicht injektiv => a1 = a2 weil f nicht injektiv (hier ist der Wiederspruch und daher ist f injektiv) anders wüsste ich nicht wie ich weiter machne sollte.. |
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17.01.2008, 18:26 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
du folgerst völlig in die falsche richtung. wir sind doch bereits bei mit angekommen. was folgt daraus jetzt? |
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17.01.2008, 18:39 | kueken | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das a1 = a2 ist somit f injektiv? |
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17.01.2008, 18:46 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein es ist doch . nutze dies aus. |
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18.01.2008, 15:58 | kueken | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
=> ^ => ungleich => f(a1) ungleich f(a2) => a1 ungleich a2 |
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18.01.2008, 16:10 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
warum denn ungleich? wir waren doch bei . |
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18.01.2008, 18:15 | kueken | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich soll doch eigentlich zeigen das a1 ungleich a2 ... und dies zum Widerspruch führen.... wie soll ich das denn sonst schreiben wenn alles falsch ist :-( |
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18.01.2008, 18:59 | kueken | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(g o f) (a1) = (g o f) (a2) => g(f(a1) = g(f(a2)) a1, a2 EA => f(a1) = f (a2) und a1 ungleich a2 (nach vorraussetzung) weil g nicht injektiv => a1 = a2 weil f nicht injektiv (hier ist der Wiederspruch und daher ist f injektiv) |
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18.01.2008, 19:33 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist doch die Vorraussetzung. und zusammen mit folgt daraus was? |
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18.01.2008, 19:50 | kueken | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sry. wenn ich auf dem schlauch stehe aber meiner meinung sieht man darin direkt den widerspruch. ich weiß leider nicht worauf du hinauswillst |
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18.01.2008, 20:13 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja und wie genau sieht der widerspruch aus? also was folgst du für die funktion ? |
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18.01.2008, 20:16 | kueken | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also vllt so.... f(a1) = f(a2) => g(f(a1)) = g(f(a2)) mit a1 ungleich a2 => (gof) (a1) = (gof) (a2) => a1 = a2 und hier jetzt der widerspruch?? |
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18.01.2008, 20:17 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja das ist jetzt ok. du nimmst an sei injektiv, f jedoch nicht und folgerst einen widerspruch. |
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18.01.2008, 20:40 | kueken | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
D.h. ich hatte es quasi die ganze zeit... puh.. Aber Dankeschön!!!!!! |
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26.11.2009, 22:19 | voodoo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
du nimmst an sei injektiv, f jedoch nicht und folgerst einen widerspruch. .... Das mit dem injektiv kapier ich total nicht. Meine Aufgabe ist a) Wenn f und g injektiv sind, dann auch f o g. Ok das war nicht so schwer zu kapieren. Es geht ja um abbildungen. Aber mal ne frage.. was meint mein leherer hiermit ? b) Wenn f o g injektiv ist, dann auch f injektiv. .oO(also wenn 2 dinge injektiv sind, dann auch eines alleine ? Wie soll den eine funktion f: N -> N injektiv sein ohne "partner". Überall im internet steht das sind so abbildungen von mengen. So wirklich plan ich das nicht jetzt.) |
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