11^2004!!! |
| 16.03.2004, 22:57 | alex meyer | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| 11^2004!!! Ich muss für die Mathe Hü folgendes berechnen: die vorletzte Ziffer von 11^2004! Weiß das jemand von euch? wär echt nett wenn ihr mir weiterhelfen könntet Danke, Alex |
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| 17.03.2004, 01:33 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| Re: 11^2004!!! Wenn dir der Hinweis "rechne modulo 100" nichts sagt, hör zu: Um die vorletzte Ziffer zu bestimmen, kannst du folgende Idee verwenden: Wenn du zwei Zahlen multiplizierst, dann hängen die letzten beiden Ziffern des Produkts nur von den letzten beiden Ziffern der beiden Faktoren ab. Das heißt, um die vorletzte Ziffer von 12345*6789 zu bestimmen, brauchst du nur 45*89=4005 berechnen, denn das stimmt an den letzten beiden Ziffern mit 83810205 überein. Um nun 11^2004 zu bestimmen, fängst du mit den ersten Potenzen der 11 an, um nach Regelmäßigkeiten der letzten beiden Ziffern zu suchen: 11^1 -> 11 11^2 -> 21 11^3 -> 31 11^4 -> 41 11^5 -> 51 wie du siehst, steigt die vorletzte Ziffer immer um 1. Die letzten beiden Ziffern von 11^10 = (11^5)^2 sind also die von 51^2, nämlich 01. Damit ist 11^2004 = 11^(200*10+4) = (11^10)^200 * 11^4. Jetzt solltest du das Endergebnis berechnen können. Wenn nicht, frag nach! Gruss, SirJective |
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| 17.03.2004, 10:57 | Drödel | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| Re: 11^2004!!! 11^2004 = 893184251573495298975240298116410015725805639190946569045008929856080664141 915558208532971109396983548148022061020314424607532116371204515249940922360 858957212951584171639186703640804383136898301929082618512539853697635284615 405427838427270930462204851266465040036025632788054345712313668329418620251 670987526049054757622509852099096028117542085012785573571070026774853339275 959310706490459053144283831131538408561217896350624077136600172010437369802 024430992646412537351208898840133975297200696296926288274605263536084326143 050606711950200800305376031436652370063944328622764115721828167447543600048 660653009460657924670042667878930639050724715081568738821819589323116074954 126918093199436315411200933887163727846072183671565989536441383288788442488 068167849960683991871182670554490554027151672835200557025275873059071756388 885393463838197802642700306467212043729017641062920635175769459194463480806 262201574618930420536869550038511318917963996775890046086359216179168983476 109899588432033308337012949237200709654435698230808674043795446050981450649 842041236639973840669035102364708732874884247670027060663256193201502544505 614970232594217472635209594404062486771252434825188442404288598900024378124 201070539910033446329853333299207803741387417149940330667252619497678243190 479672300441174197176935972763152832797699172246884083436129139401365114850 832372582616519748928733707827566188279084003231911789214193772998463680547 426433577298803134510569187385062058950295204373444944632478355632332219503 976775378328621052828186602440499530925740013244758321703891049139596655797 855604497351140269336856749709694553833159080250561792928749157018701558576 874147202855906488498081699595713731190603649713285689258234660157396537265 677188335705281686702029951450549494228813979441300191271246534564975758073 835742045093941041875323478331169516809554126737442640974464798625504269173 358848029510098677798195438281451817907514301484904066685081274536052409657 173474511634170707272950256269309409259972003645473525476460500863821509647 926793872310118799095373500218977338754738301249585735577346*1 Tja der Stern ist noch gesucht 
... Rätsel .. Wobei mir die Lösung von Sir Jectiv besser gefällt, als nur Maple oder Derive zu befragen. Schöne Beweisidee :] Aberman nach dieser Idee auch noch einfacher 2004 mod 10 rechnen. Dann hat man doch die vorletzte Stelle "subito". Happy Mathing |
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| 17.03.2004, 18:20 | alex meyer | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
also 4! Vielen Dank Leute! grüße, alex |
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| 17.03.2004, 23:17 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
(13^13)^13
Ja richtig, bei dieser speziellen Aufgabe ergibt sich dass die vorletzte Stelle von 11^n genau n mod 10 ist. Meistens ist es jedoch nicht ganz so einfach... Mal ne andere Frage, die auf dieselbe Weise zu lösen geht (aber vermutlich nicht durch einfaches Ausrechnen der Zahl): Was sind denn die letzten beiden Stellen von (13^13)^13? Gruss, SirJective |
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| 17.03.2004, 23:33 | Drödel | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| Re: (13^13)^13 Also die lezte Ziffer ist einfach, da die Mächtigkeit des Orbits der Zahl 3 lediglich 4 beträgt (3-9-7-1). Aber die vorletzte.... denk.....denk... Also ausrechnen konnte ich die Zahl ja schon - bzw. mein Rechner hat mir das erledigt, aber mit System .... denk .... denk |
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| 18.03.2004, 00:12 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| Re: (13^13)^13 .. nach 'SirJective' sind es die 73 (die 2 letzten) *gg* ... @SirJective da du soo gut drauf scheinst bei diesem Zahlenkrams, kannst du mir vielleicht mal folgendes erklären bzw begründen: 69 ist teilbar durch 23 die nächste Zahl der Form 699999... die ebenfalls durch 23 teilbar ist, ist die mit weiteren 22 angehängten Neunen an die 69, die nächste dann nach weiteren 22 usw ... generell scheint zu gelten: ist (a*10^b) -1 teilbar durch 23 so ist es auch (a*10^(b+n*22)) -1 a = 1, 2, ...,7,8 b, n aus N und teilweise analoges mit anderen Zahlen z.B. 399 und 399_999999 teilbar durch 7 allgemein (4*10^(2+n*(7-1))) -1 woran liegt das
... |
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| 18.03.2004, 01:35 | Drödel | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| Re: (13^13)^13 Naja wenn du 6900...000 (22 Nullen ) durch 23 teilst, dann geht das natürlich auf. d.h. es ist lediglich die Teilbarkeit der 22 hintereinandergeschriebenen 9er durch 23 zu zeigen. Das kann man dann ja induktiv auf beliebige "Vielfache" (44 9e , 66 9er ...) fortsetzen. Ich bin mir da jetzt nicht mehr ganz sicher (meine Algebra und Zahlentheorievorlesungen sind nun doch schon ein bisserl her), aber gibts hier nicht einen Zusammenhang mit der Tatsache, dass Z mod nZ stets ein Körper ist, falls n prim. Da gabs auch noch bei ein paar solcher Zahlentheoriespielereien Probleme mit den Primzahlen 2 und 5 (irgendwie hat man doch die Primzahlen sortiert in (2 und 5) und den Rest der Primzahlen ) Und wenn man sich die Art deines Problems anschaut, dann sollte folgendes immer funktionieren: Eine Zahl aus n 9en ist stets durch n+1 teilbar, fallls n prim und nicht 2 oder 5 ist. Was du dann vor die 9en schreibst ist egal, Hauptsache es wird durch die Primzahl geteilt (und hat netterweise noch "viele" 9en), dann ist der ganze Wust durch die Primzahl teilbar. |
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| 20.03.2004, 18:12 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| Re: (13^13)^13 Was bei (13^13)^13 rauskommt, muss ich selbst erst noch ausrechnen... Drödels Ansatz ist richtig: Man muss nur die Anzahl der 9er finden, für die 999...99 durch 23 teilbar ist. Es gibt eine allgemeine Formel, die die kleinste Anzahl 9er liefert, so dass 99...9 durch ein n teilbar ist, und sie hat etwas mit den Teilern von n zu tun. Ich weiss sie aber gerade nicht mehr... irgendwas mit phi(n) (Eulersche phi-Funktion). Für Primzahlen n>3 ist die Anzahl gleich n-1 (für n=2 gehts gar nicht und für n=3 reicht eine 9). D.h. 999999 ist Vielfaches von 7, 999...9 mit 22 9ern ist teilbar durch 23. Gruss, SirJective |
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| 25.03.2004, 22:29 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| Re: (13^13)^13 @Drödel u SirJective Ich muss mich bei euch beiden Lieben ja mal ganz kräftig bedanken. Es ist für mich einfach schön wenn ich nicht 'alles' selbst denken brauch ... es so schön vorausgedacht bekomm.
Das macht es dann in Folge um einiges einfacher auch wenn ich mir sicher sein kann --einigermaßen--
mit evtl. weiterenGedanken dazu nicht unbedingt auf Holzwegen herumzudenken. 
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| 25.03.2004, 22:46 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| Re: (13^13)^13 Die letzten drei Ziffern (es waren nur 2 verlangt) von (13^13)^13 sind 573. Hattest recht, Poff. Diesen Wert kann man noch leicht mit Maple ausrechnen, es handelt sich ja, wie der Fachmann sofort erkennt, um 13^169. Wie aber stehts mit 13^(13^13)? *hähä* Manche Dinge "vorgedacht" zu bekommen, ist hilfreich, um einen Start zu bekommen. Aber richtig verstehen kann man (mathematische) Dinge erst, wenn man sie einmal komplett allein durchdacht hat, mit allen Seitenwegen und Querverbindungen. Dies macht für mich den Reiz an der Mathematik aus - dass es so viele Querverbindungen gibt. In diesem Fall heißt das: Versuche, die Formel für die Anzahl der 9er selbst herzuleiten, vielleicht auch nur im Primzahl-Fall. Das bildet ungemein! Gruss und schönes WE, SirJective |
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| 25.03.2004, 22:48 | Drödel | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| Re: (13^13)^13 Jederzeit gerne wieder - so Dinge machen ja auch ein bisserl
(untertreib) Spass. Wobei dazu meine "Algebra und Zahlentheorie"-Vorlesung schon ein wenig lange zurückliegt... tja ... Siebhirn...
UND: ob die Gedanken nicht doch auf nen Holzweg führen... ich garantiere für nix, außer für völlige "Nichtfehlerfreiheit"
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| 25.03.2004, 23:01 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| Re: (13^13)^13 @SirJective du hast Recht und Unrecht zugleich, aber das wirst du noch erkennen
. Edit: ... hatte DEINE Antwort übrigens ganz genau soo erwartet. dass das andere 13^169 war hatte ich schon sofort gesehen ... du hättest es spannender machen können, wenn du gleich 13^13^13 geschrieben hättest OHNE Klammern, denn dies bedeutet genau das jetzige von dir und hätte evtl ein klein wenig Verwirrung zusätztlich gestiftet.
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| 26.03.2004, 15:52 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| Re: (13^13)^13 Wenn ich (13^{13^{13}}) schreibe, heißt das 13^(13^13), im Gegensatz zu ({13^{13}}^{13}), das heißt (13^13)^13. Leider wird das hier nicht so dargestellt wie ich das erwartet hätte: ({13^{13\, 13}}). In Maple z.B. ist jedoch zurecht der Ausdruck 13^13^13 undefiniert: da Potenzieren nicht assoziativ ist, soll der Benutzer genau angeben, was er meint. du hast Recht und Unrecht zugleich, aber das wirst du noch erkennen 
Ich bitte um Erklärung.Gruss, SirJective |
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| 26.03.2004, 16:44 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| Re: (13^13)^13 Wollen 'wir' uns mal nicht weiter 'streiten' um 13^13^13. Meines Wissens nach ist dieser obige Audruck as als 13^(13^13) definiert. Ob und wie das von irgendwelcher Software geschluckt wird ist eine andere Frage, eine darüber hinauslaufende Aussage dürfte sich daraus nicht herleiten lassen. a^b^c^d^e = a^(b^(c^(d^e))) so ist das meines Wissens nach definiert wenn KEINE Klammern benutzt werden. Keine Klammern bedeutet nämlich NICHT, man könne sie setzen wie man wolle. Deswegen sagte ich ja auch schon, das hätte zusätzliche Verwirrung gestiftet, obwohl es MEINER Meinung nach KLAR definiert ist in der oben dargestellten Form. ... die letzten beiden Ziffern von 13^(13^13) sind .... die 5 und die 3 ( . . . . . . x 5 3) die 3. letzte Ziffer x und die restlichen schenke ich mir mal *gg*
. Edit: Die andere Frage muss ich dir leider schuldig bleiben in direkter Beantwortung ... |
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| 27.03.2004, 17:27 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
Re: (13^13)^13
Richtig. Mein Rechenweg: Bereits bei der Lösung der vorigen Aufgabe erhielt ich 13^20 mod 100 = 01. Damit ergibt sich 13^(13^13) mod 100 = 13^(13^13 mod 20) mod 100. Mit 13^13 mod 20 = 13 erhalten wir den Rest 13^13 mod 100 = 53. (Um diese Berechnungen mit einem Taschenrechner nachzuvollziehen, muss man die einzelnen Potenzen weiter aufsplitten, z.B. in 13^13 = (13^4)^3*13, und jedes Zwischenergebnis mod 100 nehmen.) Gruss, SirJective |
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| 28.03.2004, 17:13 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| Re: (13^13)^13 Wo ich schon mal dabei war, hab ich doch noch etwas nachgelegt. Jetzt NICHT denken du solltest es überprüfen, *gg* aber wo es nun ermittelt ist, kann ichs auch mitteilen. Die 2 Stellenvariante hatte ich genau so berechnet wie du auch. Die 3 Stellenvariante lieferte eine 'Invarianz' mit ...001 bei 13^(5*20)=13^100. Sodass das Resultat sich über den Restmultiplikator 13^53 zu insgesamt '...053' ergab. Bei 4 Stellen existiert verblüffenderweise bei 13^(5*100) eine multiplikative Invarianz mit '...0001'. Das Endresultat ermittelte sich deswegen über den Restmulti- plikator von 13^253 zu insgesamt '...9053' Die nächst höhere Invarianzstelle (gerade eben mal geprüft) existiert nun verblüffenderweise nicht bei 13^(5*500) sondern erst bei 13^(10*500) = 13^5000 Bis auf das Finden jener Invarianzstellen lässt sich das Resultat bis hier noch problemlos ohne größeren Aufwand mit dem Taschenrechner ermitteln. Die weiteren Stellen habe ich über einen 'völlig' anderen skalierbaren, eher allgemeinpratikablen Ansatz ermittelt. Von den insgesamt 337385711567665 Stellen kann ich die letzten 8 anbieten, wobei die höherwertigste nicht ganz gesichert ist.
13^(13^13) = . . . . . 8 8 5 4 9 0 5 3
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| 29.03.2004, 22:28 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| Re: (13^13)^13 Ja, die Gleichung 13^100 mod 1000 = 001 hatte ich auch ermittelt. Auf 4 oder mehr Stellen bin ich nicht mehr gegangen.
Der schnellste mir bekannte allgemeine Algorithmus zur Bestimmung von a^b mod c arbeitet mit einer Binärdarstellung von b. Das setzt natürlich voraus, dass b komplett darstellbar ist, was bei b=13^13 noch machbar ist. Natürlich kann man die ganzen Algorithmen auch vergessen, wenn man den richtigen Maple-Befehl kennt: Power (a,b) mod c. Interessant wird's dann wieder, wenn selbst der Exponent nicht komplett darstellbar ist, wie z.B. bei 7^(17^(7^17)) mod 1000. (Immer nur 13 wird doch langweilig 
) Das musst du jetzt aber nicht unbedingt ausrechnen!Gruss, SirJective |
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| 30.03.2004, 05:29 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
Re: (13^13)^13
Genau DIESE Methode hatte ich mir auch erdacht und ausgeführt um die 'höheren' Stellen zu ermitteln. Da ich dies der 'Einfachheit' wegen auf Uralt-DOS-Basic realisiert hatte war wegen der eingeschränkten Rechenmöglichkeit auf 16 Stellen nicht mehr drin, zumindest nicht ohne irgendwelche weiteren Verenkungen. 'Kurz' später hab ich's dann nochmal versucht das auf Maple zu realisieren. Den Power-Befehl kannte ich nicht. Hab den gerade eben mal probiert. Vom Timimg her muss der nach dem obigen Verfahren arbeiten, da es zeitlich mit dem meinigen vergleichbar läuft. (Musst dir die Zwischenausdrucke wegdenken) Hier die 'Routine': Ziff:=1001;zz:=1;p[0]:=13;for k from 1 to 48 do p[k]:=(p[k-1]*p[k-1]) mod 10^Ziff; od; d13:= cat(convert(13^13,binary,decimal));zz:=1;for k from 0 to 48 do if SearchText(`1`,d13,49-k..49-k)=1 then zz:=zz*p[k]mod 10^Ziff; fi; od; print(zz);
das gleiche nochmal als 'code', falls das andere nicht ...
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| 06.04.2004, 13:12 | ninon | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
Hallo (-: Ich soll 1.005^150 ohne Taschenrechner berechnen. Kann mir jemand sagen wie das geht? Schöne Grüße, Ninon |
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| 06.04.2004, 13:32 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
Meinst du 1005^150 oder 1,005^150? Das erste ist eine Zahl mit 451 Stellen, das andere liegt zwischen 2 und 3. Eine Möglichkeit, letzteres ohne Taschenrechner zu bestimmen, wäre eine Logarithmentafel zu nutzen. Dazu musst du 1,005^150 umschreiben als exp(150*ln(1,005)). Dann musst du den Logarithmus von 1,005 aus der Tafel entnehmen, mit 150 multiplizieren, und dann diejenige Zahl aus der Tafel suchen, deren Logarithmus mit dem Ergebnis 150*ln(1,005) übereinstimmt. Hast du keine Logarithmentafel, weiß ich keinen eleganten Weg. Dann musst du selber rechnen... 1,005^(128+16+4+2) a = 1,005 b = a^2 = 1,005^2 c = b^2 = 1,005^4 d = c^4 = 1,005^16 e = d^8 = 1,005^128 1,005^150 = e*d*c*b Aber das ist nicht angenehm, vor allem, weil du genügend Nachkommastellen berechnen musst (exakt sind das etwa 450 Nachkommastellen). Gruss, SirJective |
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