kein Extrem- sondern Sattelpunkt

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blondi Auf diesen Beitrag antworten »
kein Extrem- sondern Sattelpunkt
Hi!
Wir haben irgendwas von Vorzeichenwechselkriterium angesprochen in der Schule. Also wenn keiner stattfindet, ist die Nullstelle der Ableitung ein Sattelpunkt von f?
Kann mir das vielleicht einer kurz erklären, und ob das alles is was als Kriterium gilt, damit die Nst ein Sattelpunkt is?

tschö + danke
blondi http://www.e-latein.de/forum/images/smiles/klatsch.gif
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kein Extrem- sondern Sattelpunkt
also für ein extrempunkt gelten halt:

und

sollte die 2.Ableitunga us irgendeinem grunde nicht machbar sein oder falsche werte ausspucken, dann überprüft man das mit dem Vorzeichenwechselkriterium:

dazu verwendet man f'(x).

man bekommt ja bei der 1.ABleitung einen wert für x raus, der meistens nicht 0 ist.

um nun zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein extremum handelt, wählt man in hinreichender lage

zwei x-werte so, dass einer rechts und einer links dieser vermutetetn extremstelle liegt.

ergibt sich ein vorzeichenwechsel von "+"nach"-minus"(Maximum) oder von "-" nach"+"(Minimum).

klappt dieses auch evtl. nicht, so müsstest du schauen, ob es einen wendepunkt mit waagerechter tangente gibt.


edit und wenn nichts von den beiden oben genannten Fällen zur bestimmung eines Extrempunktes eintrifft, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt!
Yggr Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Ableitung einer Funktion stellt die Steigung dar.
Wenn du einen Hochpunkt hast (lokales Maximum) dann ist die Steigung vor der Nullstelle größer als 0 und nach der Nullstelle kleiner. Der Graph geht erst nach oben und dann nach unten.

Bei einem Tiefpunkt ist es genau umgekehrt.

Ein Sattelpunkt ist eine Horizontalstelle, bei der sich das Vorzeichen der STeigung nicht ändert.

Andere Möglichkeit wäre, dass man das über die zweite Ableitung - die Krümmung macht. Es gibt Funktionen, bei denen geht das nicht aber was solls.

Wenn der x-Wert der Extremstelle in die 2. Ableitung eingesetzt größer Null ist, dann ist es ein Tiefpunkt.
Wenn kleiner Null dann Hochpunkt

edit:
mist ich war zu langsam
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

und ich zu schnell smile Rock
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann Sattelpunkte auch über die Ableitungen finden! Schau dafür mal hier rein... Da sind noch Zeichungen usw. smile ...

LG
blondi Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke

und das mit dem vorzeichenwechsel kann man nur bei f sehen?
also wenn man nur den ableitungs-graphen anguckt kann man nich sagen ob eine nullstelle von f' bei f ein sattelpunkt is?
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Nullstelle x_0 bei f' bedeutet nur, dass der Graph von f(x) an der Stelle x_0 eine waagrechte Tangente besitzt. Dies ist sowohl bei einem Extrempunkt als auch bei einem Sattelpunkt der Fall.

Gruß, therisen
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

richtig!! Rock
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kein Extrem- sondern Sattelpunkt
Zitat:
Original von brunsi
also für ein extrempunkt gelten halt:

und


Falsch! Umgekehrt ist es richtig: Wenn und , dann ist eine Extremstelle. Gegenbeispiel:

Hier kommt es auf jedes Wort an!
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

jaja! der teufel steckt im detail! smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
man bekommt ja bei der 1.ABleitung einen wert für x raus, der meistens nicht 0 ist

diese aussage ist auch gold wert......

ein stochastiker würde vermutlich völlig rechtgeben und sogar behaupten, dass 0 nur mit wahrscheinlichkeit 0 nullstelle einer ableitung einer diffbaren funktion ist, aber....... (steitige verteilung ?!)

nur damit das nicht zur verwirrung führt:
alles hier genannte funktioniert auch für x0=0 wunderbar.....
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt hast du mich verwirrt LOED. Klär mich mal bitte genau drüber auf.


@LEOPOLD: stimmt da hätte ich es verdrehen müssen, aber kannst du mir denn auch ein beispiel angeben, was für meine aussage zu trifft? momentan bin ich völlig verwirrt. Hilfe
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@brunsi: Naja, bei ist der einzige Punkt, auf den Deine Definition zutrifft ein Extremum... Hingegen bei nicht...

Alles klar?

PS: So muss es heissen...
Sei und , dann ist eine Extremalstelle...

Aber Extremstellen können auch anders auftreten...
z.B. eben gei obengenannter g-Funktion oder bei
smile ...
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt ich erinnere mcih dran,d ass du das schon mindestens 2 mal in anderen threads geschrieben hast.

da muss man dann nach der anzahl der ableitungen schauen, obs ein extremum ist oder nicht!!
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! Aber Randwerte usw. können auch noch Extrema sein (auch Knicke bei Absolutbetragsfunktionen) Das muss man dann einfach gesondert analysieren...

Oder auch
...
Da ist E(0|0) ein Minimum strenggenommen... Aber das ist die erste Ableitung gar nicht definiert smile
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

genau denn irgendwas durch null teilen geht ja nicht!! Augenzwinkern
blondi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ich hab die Quintessenz immer noch nicht ganz erfasst. verwirrt

Also wenn ich nur den Ableitungsgraphen sehe, wie weiß ich dann ob die Nullstelle dessen ein Sattelpunkt (und kein Extremum) bei f ist, ohne den Graphen von f gesehen zu haben oder ihn zu zeichen.

Einfach nur daran, ob die gesamten Funktionswerte von f' nur im positiven oder negativeren Bereich liegen?
Gast1234 Auf diesen Beitrag antworten »

ohne die vorherigen Beiträge gelesen zu haben:
doppelte Nullstelle von f'(x) ist ein Sattelpunkt.
Wenn f'(x) = f''(x) = 0 liegt ein Sattelpunkt vor.
blondi Auf diesen Beitrag antworten »

ach so, cool danke, und das reicht schon aus immer?

oder muss man noch dazu sagen dass der ableitungsgraph komplett im negativen oder komplett im positven bereich liegen muss?
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast1234
Wenn f'(x) = f''(x) = 0 liegt ein Sattelpunkt vor.


ACHTUNG
Das ist so nicht richtig. Gegenbeispiel ist f(x)=x^4. Für den Fall, dass kann man keine Aussage treffen und muss das Vorzeichenwechselkriterium anwenden.

Alternativ könnte man auch folgendes sagen: Falls , dann ist an der Stelle x_0 ein Sattelpunkt.

Allgemein kann man sagen: Sind die ersten (n-1) Ableitungen an der Stelle gleich 0 und die n-te Ableitung an der Stelle ungleich 0, dann gilt folgendes:
Ist n eine gerade Zahl, dann ist an der Stelle x_0 eine Extremstelle. Wenn n ungerade ist, dann ist an der Stelle x_0 ein Sattelpunkt.
blondi Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir mal einer Vorzeichenkriterium kurz definieren?
Oder heißt das wirklich nur dass der Graph von f' entweder im Pos. bzw. Neg. liegen muss?

und kannst du mir ein Beispiel dafür sagen @Calvin geschockt

Zitat:
Allgemein kann man sagen: Sind die ersten (n-1) Ableitungen an der Stelle gleich 0 und die n-te Ableitung an der Stelle ungleich 0, dann gilt folgendes:
Ist n eine gerade Zahl, dann ist an der Stelle x_0 eine Extremstelle. Wenn n ungerade ist, dann ist an der Stelle x_0 ein Sattelpunkt.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blondi
ach so, cool danke, und das reicht schon aus immer?

Nein, obwohl man es in der Schule oft so lernt. Gegenbeispiel ist . Hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt:

Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blondi
Kann mir mal einer Vorzeichenkriterium kurz definieren?
Oder heißt das wirklich nur dass der Graph von f' entweder im Pos. bzw. Neg. liegen muss?


Es geht nicht um den kompletten Graph von f', sondern nur um ein kleines Intervall , das die mögliche Extremstelle enthält. Achte darauf, dass das Intervall keine weiteren möglichen Extremstellen enthält.

Zitat:
und kannst du mir ein Beispiel dafür sagen @Calvin geschockt

Zitat:
Allgemein kann man sagen: Sind die ersten (n-1) Ableitungen an der Stelle gleich 0 und die n-te Ableitung an der Stelle ungleich 0, dann gilt folgendes:
Ist n eine gerade Zahl, dann ist an der Stelle x_0 eine Extremstelle. Wenn n ungerade ist, dann ist an der Stelle x_0 ein Sattelpunkt.


Natürlich smile
an der Stelle



In diesem Fall ist die dritte Ableitung ungleich 0, also ist n=3. Da n ungerade ist, liegt an der Stelle x_0 ein Sattelpunkt vor.

Anderes Beispiel ist an der Stelle . Kriegst du das selbst hin?

Wobei man bei diesem Verfahren möglicherweise viel Zeit investieren muss. Stelle dir mal eine komplizierte Funktion vor, bei der erst die 18. Ableitung an der kritischen Stelle ungleich 0 wird Augenzwinkern Vorzeichenwechselkriterium ist im allgemeinen sinnvoller.
blondi Auf diesen Beitrag antworten »

f (x) = x^4; x0 = 0
f'(x) = 4x³; x0 = 0
f'' (x) = 12x²; x0 = 0
f'''(x) =24x; x0 = 0
f''''(x) = 24; x0 = /

also 0 ist extremstelle?


zu dem vorzeichenwechselkriterium:

kann man auch sagen, dass ein sattelpunkt vorliegt, wenn bei f' z.b. nullstelle bei 3 is und der funktionswert für den f'-graphen im intervall von z.b. 1 bis 5 komplett positiv is?
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Jepp! Tiptop smile
Du kannst aber auch einfach das Vorzeichen unendlich nahe bei der Nullstelle mit Limiten prüfen... (denn es kann ja sein, dass im Intervall 1;5 z.B. noch andere Nullstellen liegen)...

LG
blondi Auf diesen Beitrag antworten »

danke http://www.e-latein.de/forum/images/smiles/klatsch.gif
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Als weiteres Argument für das Vorzeichenwechselkriterium will ich mal noch eine unendlich oft differenzierbare, nicht konstante Funktion f angeben, für die trotzdem für alle n gilt:

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