ein Punkt von dem aus drei Kreise unter dem gleichen Sehwinkel erscheinen

19.06.2005, 23:11	tris	Auf diesen Beitrag antworten »
ein Punkt von dem aus drei Kreise unter dem gleichen Sehwinkel erscheinen Hallo alle, gegebem sind die drei Kreise deren Position und deren Radien Konstruieren soll man einen Punkt von dem aus die jeweils zwei Tangenten der Kreise durch diesen Punkt denselben Winkel zu sich haben (wenn ich mich so verständlich ausgedrückt habe) so dann also erstmal die Schnittlinien der Tangenten des größten Kreises plus den kleineren also hab ich schon mal zwei Punkte von denen jeweils zwei Kreise den gleichen Blickwinkel haben. Angeblich ist das Verhältnis s(S16,S9) : s(S16,P16) = r1 : r2 demnach sind alle Punkte deren Strahlen durch die Kreismittelpunkte in diesem Verhältnis zueinander stehen zumindest für die ersten beiden Kreise potentielle Lösungen. Gibt es eine Möglichkeit diese Punkte zu konstruieren, weil dann könnte ich das ja mit dem nächsten Kreis ebenso machen und der Schnittpunkt daraus wäre dann das Ergebnis, oder nicht ?
20.06.2005, 00:11	gargyl	Auf diesen Beitrag antworten »
" Angeblich ist das Verhältnis s(S16,S9) : s(S16,P16) = r1 : r2 " Hört sich wie Strahlensatz an.
20.06.2005, 07:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Manchmal gibt es zwei solche Punkte...
20.06.2005, 07:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
... und manchmal aber auch überhaupt keine.
20.06.2005, 09:30	tris	Auf diesen Beitrag antworten »
ich steh immer noch auf dem Schlauch! Wie finde ich denn den Kreis auf dem alle Punkte das selbe Längenverhältnis wie die ursprünglichen Strecken haben?
20.06.2005, 09:44	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ein Kreis mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ vom Punkt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ aus unter dem Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ erscheinen soll, dann muss $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sin\displaystyle\frac{\varphi}{2}}=\frac{\overline{MP}}{r} \end{eqnarray}$ gelten. Sollen vom selben Punkt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ aus zwei Kreise $\begin{eqnarray} (M_1,r_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (M_2,r_2) \end{eqnarray}$ unter jeweils demselben Winkel erscheinen, so folgt daraus unmittelbar $\begin{eqnarray} \frac{\overline{M_1P}}{r_1}=\frac{\overline{M_2P}}{r_2} \end{eqnarray}$ , da hast du dein Streckenverhältnis. Zusätzlich sei mal vorausgesetzt, dass sich beide Kreise nicht schneiden und zunächst mal $\begin{eqnarray} r_1\neq r_2 \end{eqnarray}$ gelte. Dann gibt es ein Paar gemeinsamer Tangenten, das außen an beiden Kreisen vorbeiführt und sich im Punkt $\begin{eqnarray} P_o \end{eqnarray}$ schneidet, und ebenso ein Paar gemeinsamer Tangenten, welches sich innen über Kreuz zwischen beiden Kreisen im Punkt $\begin{eqnarray} P_i \end{eqnarray}$ schneidet. Aus Symmetriegründen liegen sowohl $\begin{eqnarray} P_o \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} P_i \end{eqnarray}$ auf der Verbindungsgerade $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ der Kreismittelpunkte $\begin{eqnarray} M_1,M_2 \end{eqnarray}$ . Beide Punkte erfüllen die obigen Eigenschaften, d.h., $\begin{eqnarray} \frac{\overline{M_1P_o}}{r_1}=\frac{\overline{M_2P_o}}{r_2},\quad \frac{\overline{M_1P_i}}{r_1}=\frac{\overline{M_2P_i}}{r_2} \end{eqnarray}$ . Betrachten wir jetzt die Gesamtmenge $\begin{eqnarray} W:=\left\{ P \biggm\| \frac{\overline{M_1P}}{r_1}=\frac{\overline{M_2P}}{r_2} \right\} \end{eqnarray}$ , wie sieht die aus? Symbolisieren die Punkte gleichzeitig ihre Ortsvektoren, so muss für alle Punkte $\begin{eqnarray} P\in W \end{eqnarray}$ gelten: $\begin{eqnarray} r_2^2(P-M_1)^2=r_1^2(P-M_2)^2 \end{eqnarray}$ Mit ein paar für $\begin{eqnarray} r_1\neq r_2 \end{eqnarray}$ gültigen äquivalenten Umformungen folgt $\begin{eqnarray} (P-M')^2=r'^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} M'=\frac{r_2^2M_1-r_1^2M_2}{r_2^2-r_1^2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r'=\frac{r_1r_2\left\|M_1-M_2\right\|}{r_2^2-r_1^2} \end{eqnarray}$ . Die genaue Darstellung ist für die Konstruktion völlig egal, wichtig ist nur, dass es ein Kreis ist. Da dieser symmetrisch zu $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ liegen muss, ist $\begin{eqnarray} P_oP_i \end{eqnarray}$ ein Durchmesser dieses Kreises. Damit dürfte die Konstruktion von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ klar sein. Und über das weitere Vorgehen, was dann alle drei Kreise betrifft, hast du dir ja schon deine Gedanken gemacht. EDIT: Darstellung von r' vereinfacht - Wurzelausdrücke müssen ja nicht sein...
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20.06.2005, 09:53	tris	Auf diesen Beitrag antworten »
danke dent also dann liegt der Mittelpunkt meines gesuchten Kreises mittig zwischen den Schnittpunkten der inneren und äußeren Kreis tangenten auf der Geraden durch die Kreismittelpunkte, Juhuuu

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