Gruppe mit Ordnung p^2 abelsch

18.01.2008, 18:29

Zebra

Gruppe mit Ordnung p^2 abelsch

Hallo,

ich wollte Beweisen, daß Gruppen von Ordnung $\begin{eqnarray*} p^2, p \in \mathbb{P} \end{eqnarray*}$ abelsch sind. Dazu habe ich auch einen Anfang und würde gerne wissen, ob man den Beweis reparieren kann oder es anders versuchen muß:

Man betrachtet das Zentrum von G $\begin{eqnarray*} Z(G) \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} |Z(G)|=p^2 \end{eqnarray*}$ ist nichts zu zeigen. Da $\begin{eqnarray*} |G| \end{eqnarray*}$ primquadrat ist, ist $\begin{eqnarray*} Z(G)>e \end{eqnarray*}$ . Also sei $\begin{eqnarray*} |Z(G)|=p \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es ein weiteres Element g aus G, das nicht im Zentrum liegt. Dieses habe oBdA Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} G = Z(G) \rtimes <g> \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} |Z(G)|=|<g>|=p \end{eqnarray*}$ und der Schnitt damit trivial ist.

Jetzt müßte ich irgendwie zeigen, daß $\begin{eqnarray*} <g> \end{eqnarray*}$ normal ist. Hat jemand eine Idee?

Also, ich habe einen Beweis gefunden, der dann die Faktorgruppe G/Z betrachtet, die isomorph zu eine zyklischen Gruppe von Ordnung p ist und dann einfach schreibt, ein Element dieser Gruppe könne nicht zyklisch und ungleich 1 sein. Diese Aussage kenne ich aber nicht und wollte es daher anders versuchen ...

18.01.2008, 19:02

therisen

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RE: Gruppe mit Ordnung p^2 abelsch

Zitat:

Original von Zebra
$\begin{eqnarray*} Z(G)>e \end{eqnarray*}$

Was ist denn das für eine Notation? Der Beweis ist ganz einfach und kann mit dem Zentrum geführt werden (das war ja auch deine Idee): Angenommen, $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist nicht abelsch. Betrachte dann den Zentralisator eines Elementes, das nicht im Zentrum von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ liegt. Das liefert sofort einen Widerspruch.

Gruß, therisen

18.01.2008, 20:00

Zebra

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Also, ich glaube, da stehe ich auf dem Schlauch. Sei $\begin{eqnarray*} g \in G, g \notin Z(G), z \in Z(G) \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} Z_G(z)=G \end{eqnarray*}$ , also insbes. (i) $\begin{eqnarray*} zg=gz \end{eqnarray*}$ . Es ist aber $\begin{eqnarray*} Z_G(g) \end{eqnarray*}$ entweder ganz $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ (geht nicht, da nicht abelsch angenommen), oder $\begin{eqnarray*} <g> \end{eqnarray*}$ (geht auch nicht wegen (i), oder $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ (auch wegen (i) ausgeschlossen).

Ist das der Widerspruch?

Was gibts denn an der Notation $\begin{eqnarray*} Z(G) > e \end{eqnarray*}$ auszusetzen? Das Zentrum besteht eben nicht nur aus dem neutralen Element der Gruppe.

18.01.2008, 20:02

Zebra

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Ups, vertippt. Daß $\begin{eqnarray*} Z_G(g) \end{eqnarray*}$ nicht ganz $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist geht natürlich nicht, weil $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sonst im Zentrum liegen müßte.

18.01.2008, 23:02

therisen

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Zitat:

Original von Zebra
Was gibts denn an der Notation $\begin{eqnarray*} Z(G) > e \end{eqnarray*}$ auszusetzen?

Links steht eine Menge, rechts ein Element der Gruppe. $\begin{eqnarray*} \{2\}>1 \end{eqnarray*}$ ? Mir ist schon klar, dass du mit $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ "ist echte Untergruppe von" meinst, aber auch dann sollte man rechts geschweifte Klammern setzen.

Es gilt $\begin{eqnarray*} |Z_G|<|Z_G(g)| \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} g\not\in Z_G \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} Z_G(g)=G \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung nicht möglich ist, folgt $\begin{eqnarray*} Z_G=\{e\} \end{eqnarray*}$ nach dem Satz von Lagrange. Widerspruch.

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