orthonormierte Basen...

21.06.2005, 16:20

Polly

orthonormierte Basen...

Hi!
Hab da noch so ne Aufgabe und zwar soll f: C³ $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ C³ definiert sein durch f(x)=(x $\begin{eqnarray*} _{1} \end{eqnarray*}$ +ix $\begin{eqnarray*} _{2} \end{eqnarray*}$ , -ix $\begin{eqnarray*} _{1} \end{eqnarray*}$ +x $\begin{eqnarray*} _{3} \end{eqnarray*}$ , x $\begin{eqnarray*} _{2} \end{eqnarray*}$ +x $\begin{eqnarray*} _{3} \end{eqnarray*}$ ).

Nun soll ich zuerst zeigen, dass f ein Endomorphismus ist und die Matrix-Darstellung von f bzgl. der Standardbasis ermitteln.
Als Matrixdarstellung habe ich jetzt:
A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & i & 0 \\ -i & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nur jetzt habe ich gemerkt, dass ich nicht mehr weiß, wie man zeigt, dass das ein Endomorphismus ist!?

Nun soll ich zeigen, dass bzgl. des Standardskalarproduktes gilt (f(x) l y) = (x l f(y))
Was ist denn ein Standardskalarprodukt?
Und wie muss ich das hier zeigen? Wiedermal mit hin- und herschieben der einzelnen Elemente?

Und dann soll ich zum Schluss auch noch eine orthonormierte Basis von C³ ermitteln, bzgl. der f durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird.
Weiß vielleicht jemand wie man das macht? Zumal ich nicht weiß, was eine orthonormierte Basis ist.

Danke, Polly

21.06.2005, 21:08

JochenX

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Zitat:

Nur jetzt habe ich gemerkt, dass ich nicht mehr weiß, wie man zeigt, dass das ein Endomorphismus ist!?

zeige a) dass er von einer menge in sich selbst geht
b) dass er homomorph ist (d.h. linear)

denn a und b sind zusammen genau die definition eines endomorphismusses

ach den rest auch noch als edit:
schau mal in dein skript bezüglich der grunddefinitionen:
standardskalarprodukt
orthonormalbasis
beides wichtige begriffe

22.06.2005, 17:18

Gast44

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Ist das nicht eigentlich schon eine gegebene Definition, dass mit dem Endomorphimus? Bei Mathebord steht ja:
Ein Morphismus von X->X ist ein Endomorphismus X und hier ist das doch der Fall...

22.06.2005, 17:24

JochenX

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die homomorphie ist noch zu zeigen...........

23.06.2005, 16:53

Polly

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Hi,
also ich hab jetzt bezüglich des Endomorphismus f(x+y) = f(x)+f(y) und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ f(x) = f( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ x) gezeigt und damit ja die linearität bewiesen, damit ist der Teil doch fertig, oder?

23.06.2005, 17:26

JochenX

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das sind die bedingungen an eine lineare abbildung Freude

23.06.2005, 17:30

Polly

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So, zu dem Standardskalarprodukt hab ich nun folgendes:
(f(x)ly)=(x $\begin{eqnarray*} _{1} \end{eqnarray*}$ +ix $\begin{eqnarray*} _{2} \end{eqnarray*}$ )y $\begin{eqnarray*} _{1} \end{eqnarray*}$ + (-ix $\begin{eqnarray*} _{1} \end{eqnarray*}$ +x $\begin{eqnarray*} _{3} \end{eqnarray*}$ )y $\begin{eqnarray*} _{2} \end{eqnarray*}$ + (x $\begin{eqnarray*} _{2} \end{eqnarray*}$ +x $\begin{eqnarray*} _{3} \end{eqnarray*}$ )y $\begin{eqnarray*} _{3} \end{eqnarray*}$ =x1y1 + ix2y1 - ix1y2 + x3y2 + x2y3 + x3y3 = x1(y1-iy2) +x2(iy1+y3) +x3(y2+y3) (Die Klammern mit den y immer konjugiert) =(xlf(y))
Ist das Ok so?

23.06.2005, 18:37

JochenX

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wenn du das schon immer komplex konjugiert hast, dann mach doch den zwischenschritt..... ...=(f(y)|x)[komplex konjugiert]=(x|f(y)

sonst siehts doch ganz gut aus.....

23.06.2005, 20:52

Polly

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Die Formel für das Standardskalarprodukt ist doch: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~xi \vec{yi} \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} \vec{yi} \end{eqnarray*}$ hier die Konjugation von yi darstellen soll, da ich nicht weiß, wie ich das sonst schreiben soll).
Welchen Zwischenschritt meintest du denn dabei jetzt? Ich dachte, was ich oben geschrieben habe, folgt aus dieser Formel. verwirrt

Denn wenn ich das ausmultipliziere und dann das x wieder ausklammer, dann folgt doch daraus (xlf(y)) und nicht anders rum, oder ist das egal?
Und wenn ich das dann anders schreibe, muss ich das dann erst konjugieren, damit dann (xlf(y) rauskommt? unglücklich

23.06.2005, 22:17

JochenX

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ich verstehe, was du meinst, ja sieht dann gut aus......

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