Abstand eines Punktes von einer Geraden

21.06.2005, 18:00

Soulmate

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Abstand eines Punktes von einer Geraden

Hallo,

ich habe ein problem mit folgender Aufgabe, und zwar weiß ich nicht wie ich das berechnen kann:

Welchen Abstand hat der Punkt P von der Geraden g?

P (9/11/6)

$\begin{eqnarray*} g : \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

21.06.2005, 18:02

Sciencefreak

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Soll deine Gerade ein Punkt sein? Da fehlt deine Laufvariable.
Also der Abstand ist die Länge des Lotes von P auf g. Kommst du damit weiter

21.06.2005, 18:04

derkoch

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RE: Abstand eines Punktes von einer Geraden
Welchen Abstand hat der Punkt P von der Geraden g?

P (9/11/6)

$\begin{eqnarray*} g : \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -7 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lambda hat gefehlt in der geradengleichung!

ebene aufstellen, die senkrecht zu g verläuft und den punkt P enthält, die beiden zum schnitt bringen, dann hast du es!

21.06.2005, 18:15

Frooke

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Stichwort zu derkoch's Tipp: Normalenvektor!

Es geht aber noch einfacher: Nennen wir mal den Stützpunkt S und den Richtungsvektor v.
Dann musst Du nur folgendes berechnen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\overbrace{\left|\vec{SP}\times \vec{v}~\right|}^{\text{=Fläche des von SP und v aufgespannten Parallelogramms}}}{\underbrace{\left|\vec{v}\right|}_{\text{Norm des Vektors v}}} \end{eqnarray*}$

Alles klar?

21.06.2005, 18:20

Soulmate

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oh tatsächlich, ich hab den parameter vergessen.
ich hab es jetzt aber oben korrigiert.

ich habe jetzt eine hilfsebene erstellt und würde gerne wissen ob die richtig ist, damit ich nicht mit fehlern weiterrechne:

$\begin{eqnarray*} E_h : 2x_1 - 1x_2 + 2x_3 = 19 \end{eqnarray*}$

der normalenvektor ist doch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , richtig?

21.06.2005, 18:29

Frooke

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Stimmt eigtentlich alles, aber warum schreibst Du denn nicht
2x-y+2z-19=0?

Und wie gesagt: Meine Variante ist einfacher Big Laugh

Big Laugh

Aber so kommst Du auch an das Ziel Freude

Freude

EDIT: Tippfehler korrigiert! Danke brunsi und Soulmate!

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21.06.2005, 18:40

Soulmate

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wieso denn 3z?
meinst du vll 2z?

Ich hab versucht den Schnittpunkt für g und Eh zu bestimmen.
ich hab da für t rausbekommen:

t=5,142

das stimmt nicht, oder?

21.06.2005, 18:45

brunsi

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Zitat:

wieso denn 3z? meinst du 2z

ja 2z ist gemeint!!

edit: ich hab für t=4!!! wenn ich da keinen fehler eingebaut habe, es ist gerade mal wieder sehr heiß hier bei mir!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.06.2005, 18:57

Soulmate

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ich glaube mein t-ergebnis stimmt nicht.
wo liegt denn mein fehler?

hier meine rechnung:

$\begin{eqnarray*} g : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -7 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+2t \\ 1-1t \\ -7+2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt will ich den Schnittpunkt von g und Eh bestimmen:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot (-1+2t)- 1\cdot (1-1t) + 2\cdot (-7+2t) = 19 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2+4t - 1-1t - 14+4t = 19 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -17 + 7t = 19 /+17 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7t = 36 /:7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t = 5, 142 \end{eqnarray*}$

ich hab es bestimmt falsch ausmultipliziert.
es ist doch wahrscheinlicher, dass da ne gerade zahl wie t=4 rauskommt...ich weiß aber nicht was ich falsch gemacht habe verwirrt

verwirrt

21.06.2005, 19:00

brunsi

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ich hab dein fehler schau mal hier:

Zitat:

-17 + 7t = 19 /+17

und jetzt schau mal eine zeile weiter oben:

Zitat:

-2+4t - 1-1t - 14+4t = 19

und noch eine weiter oben:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot (-1+2t)- 1\cdot (1-1t) + 2\cdot (-7+2t) = 19 \end{eqnarray*}$

so und bei den ganzen zitaten achte doch bitte mal (von unten nach oben gelesen!) auf das einzelne t udn speziell das vorzeichen!!

edit: schau mal in den gesamten zitaten, wie sich die anzahl deiner t ändert!! und ob du zufällig bei dem einzelnen t ein vorzeichenfehler drin hast Mit Zunge

Mit Zunge

21.06.2005, 19:28

Soulmate

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okay, also noch mal:

$\begin{eqnarray*} g : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -7 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+2t \\ 1-1t \\ -7+2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot (-1+2t)- 1\cdot (1-1t) + 2\cdot (-7+2t) = 19 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2+4t - 1+1t - 14+4t = 19 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -17 + 9t = 19 /+17 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9t = 36 /:9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t = 4 \end{eqnarray*}$

Nun rechne ich Punkt F aus (F ist der Schnittpunkt der Gerdaden g mit der Hilfsebene Eh)

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -1+8 \\ 1-4 \\ -7+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = \vec{f} \end{eqnarray*}$

F (7 / -3 / 1)

Abstand von P und F:

$\begin{eqnarray*} \vec{PF} = \begin{pmatrix} -2 \\ -14 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\vec{PF} | = \sqrt{4+196+25} = \sqrt{225} = 15 \end{eqnarray*}$

Antwort: Der Punkt P hat den Abstand 15 LE von der Geraden g.

21.06.2005, 19:34

brunsi

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ja hast du, die Angabe des Punktes F ist völlig falsch. Schau doch aml auf deinen Ortsvektor von F, den du ausgerechnet ahst und vergleiche ihnmit den Koordinaten des Punktes F:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -1+8 \\ 1-4 \\ -7+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = \vec{f} \end{eqnarray*}$

F (8 / 1 / 0)

alles was danach kommt ist dann falsch, da du den falschen Punkt F dafür benutzt hast, aber prinzipiell ist der Lösungsweg richtig!!

21.06.2005, 19:48

Soulmate

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oh natürlich.
ich kann mich heute kaum konzentrieren.

ich hab es jetzt oben korrigiert.
ist es denn dieses mal richtig?

21.06.2005, 19:50

Soulmate

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sorry für den doppelpost

21.06.2005, 19:56

aRo

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ja, stimmt! Freude

Freude

21.06.2005, 20:11

brunsi

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Tanzen

Tanzen

Tanzen

yeah, richtig Tanzen

Tanzen

Tanzen

Freude

21.06.2005, 20:24

Soulmate

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ich hab jetzt noch eine zweite aufgabe dieser art gemacht.
könntest du/ihr kontrollieren ob das ergebnis dieses mal auch richtig ist?

also:

Selbe Aufgabenstellung wie vorhin.

P (9 / 4 / 9)

$\begin{eqnarray*} g : \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -9 \\ -2 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da hab ich folgendes raus:

t = -1

und als ergebnis für den abstand von P und F: 17 LE

wie würden denn die skizzen zu diesen beiden aufgaben aussehen?

21.06.2005, 20:36

brunsi

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die skizzen würden wie folgt aussehen:

ICh werde das mal beschreiben,w eile s einfacher sit.

Du hast deine gegebene Gerade und deinen Punkt der nicht auf der Gerade liegt.

Nun zeichnest du eine zur Geraden orthogonale Ebene durch den gegebenen Punkt und fertig.

21.06.2005, 20:45

Soulmate

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ist die andere aufgabe denn auch richtig?

21.06.2005, 20:59

brunsi

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also für den parameter t kommt -1 raus. ich hoffe du hast den rest jetzt hier auch richtig gemacht. stell doch deine rechnung nach der bestimmung des parameters t mal hier rein,d as ist einfacher für mcih das nachzuvollziehen.

21.06.2005, 21:28

Frooke

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@all: Das könnt ihr alles viel billiger haben. Aber da niemand auf meinen letzten Post eingegangen ist hier nochmal die Idee: Der Abstand des Punktes ist die Höhe des Parallelogramms, welches der Richtungsvektor und der Vektor, der nachfolgend SP heissen wird, einschliessen...

Also ist h = Fläche durch Norm des Richtungsvektors:

Gegeben sind die Gerade...
$\begin{eqnarray*} g : \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -9 \\ -2 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

...und der Punkt
$\begin{eqnarray*} P(9|4|9) \end{eqnarray*}$

Der Stützpunkt ist also...
$\begin{eqnarray*} S(4|-9|-2) \end{eqnarray*}$

...und der Richtungsvektor der Geraden
$\begin{eqnarray*} \vec{v}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun einfach:
$\begin{eqnarray*} \frac{\left|\vec{v}\times\vec{SP}\right|}{\sqrt{26}} \end{eqnarray*}$
usw. Ausrechnen dürft ihr selbst...

also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\left|\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -5 \\ -13 \\ -11 \end{pmatrix}\right|}{\sqrt{26}} \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon: Hab mich vielleicht irgendwo vertippt oder verrechnet

21.06.2005, 22:43

Soulmate

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okay, hier kommt die restliche rechnung:

P (9 / 4 / 9)

$\begin{eqnarray*} g : \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -9 \\ -2 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

-------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 4+3t \\ -9-4t \\ -2+1t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 4-3 \\ -9+4 \\ -2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -3 \end{pmatrix} = \vec{f} \end{eqnarray*}$

F (1 / -5 / -3)

Abstand von P und F:

$\begin{eqnarray*} \vec{PF} = \begin{pmatrix} -8 \\ -9 \\ -12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{PF} = \sqrt{64+81+144} = \sqrt{289} = 17 \end{eqnarray*}$

@Frooke
dein vorschlag scheint zwar vielleicht einfacher zu sein, nur bevorzugt mein lehrer leider die umständlichere variante Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.06.2005, 10:47

brunsi

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@soulmate: die rechnung sieht gut aus. kann bis jetzt keinen fehler entdecken. Freude

Freude

@Frooke: das ist zwar viel kürzer, aber da muss man viel mehr nachdenken,und das kostet zeit, wenn mans nicht schon mal vorher gemacht hat.

also ich würde auch wenn es irgendmöglich ist diesen weg von soulmate gehen.

22.06.2005, 10:58

aRo

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ich bevorzuge auch den weg mit der HIlfsebene.

Naja, das mag aber stark daran liegen, dass wie Frookes Weg nie im Unterricht benutzt haben Augenzwinkern

Augenzwinkern

aRo

22.06.2005, 11:02

brunsi

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naja wir schon, aber der war immer so umständlich. daher habe icha cuh so oft es geht den weg über die hilfsebene gewählt.

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