Basismatrizen M(2x2)... lin. Abb.

19.01.2008, 13:08

hasesh

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Basismatrizen M(2x2)... lin. Abb.

Moin,

Sei A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in V := M (2 x 2, R) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ : V -> V definiert durch $\begin{eqnarray*} \phi(X) = AXA \end{eqnarray*}$ für alle X $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V.

a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ linear ist.

Das habe ich gelöst. smile

smile

b) Geben Sie je eine Basis von ker $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und im $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ an, und überprüfen Sie die Dimensionsformel.

Was ich weiß, ist, dim V = dim $\begin{eqnarray*} kern \phi \end{eqnarray*}$ + dim $\begin{eqnarray*} im \phi \end{eqnarray*}$ .

c) Ergänzen Sie eine Basis von ker $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von V.

Ok,

Kann mir hier jemand weiterhelfen? Wie kann ich eine Basis von M(2x2) finden? Wie sieht so eine Basis aus?

Für Vektorräume bzw. eine Menge von Vektoren kann ich ja z.B. die Einheitsvektoren mit einander kombinieren...

Aber wie sieht es mit Matrizen aus???

19.01.2008, 13:22

WebFritzi

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RE: Basismatrizen M(2x2)... lin. Abb.

Zitat:

Original von hasesh
Wie kann ich eine Basis von M(2x2) finden? Wie sieht so eine Basis aus?

Für Vektorräume bzw. eine Menge von Vektoren kann ich ja z.B. die Einheitsvektoren mit einander kombinieren...

Aber wie sieht es mit Matrizen aus???

Genauso, aber das ist ja nicht die Aufgabe. Ermittle den Kern von Phi.

19.01.2008, 20:57

hasesh

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Moin!

so habe mal ein paar Rechnungen zu b) gemacht...

X= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kern
Alle X, die auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ abgebildet werden...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+c & a+c \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw.

r*(a+c) + s*(a+c) = 0

(r+s)*a + (r+s)*c = 0

a + c = 0

a= -c

Alle X der Gestalt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ -a & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gehören zum Kern.

Alle X der Gestalt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+c & a+c \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gehören zum Bild.

Aber wie kann ich jetzt eine Basis zum Kern bzw. zum Bild finden???

Keine Idee!

19.01.2008, 21:08

tmo

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ -a & d \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} ... & ... \\ ... & ... \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} ... & ... \\ ... & ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.01.2008, 21:53

hasesh

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moin tmo!

ok, das würde bedeuten, dass ich eine Basis dadurch finde, die einzelnen Zahlen der Matrix mit den entsprechenden Matrizen zu kombinieren (wie soll ich es ausdrücken?), also allgemein:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a* \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + b* \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} +d* \begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw. hier

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ -a & d \end{pmatrix} = a*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} -a*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} +d*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ -a & d \end{pmatrix} = a*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +d*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und was sind hier die Basisvektoren?

Danke & Gruß!!

19.01.2008, 22:14

tmo

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Zitat:

Original von hasesh

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ -a & d \end{pmatrix} = a*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +d*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da hast du es doch schon stehen. a,b,d sind reelle zahlen, also lassen sich alle matrizen im kern aus diesen 3 matrizen linearkombinieren.

also bilden die 3 matrizen schonmal ein erzeugendensystem des kerns. was muss zusätzlich noch gelten, damit sie auch eine basis bilden?

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19.01.2008, 22:40

hasesh

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Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von hasesh

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ -a & d \end{pmatrix} = a*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +d*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da hast du es doch schon stehen. a,b,d sind reelle zahlen, also lassen sich alle matrizen im kern aus diesen 3 matrizen linearkombinieren.

also bilden die 3 matrizen schonmal ein erzeugendensystem des kerns. was muss zusätzlich noch gelten, damit sie auch eine basis bilden?

sie müssen linear unabhängig sein, d.h.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = a*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +d*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hat als einzige lösung a=b=c=0.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ -a & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das jetzt erfüllt? kann ich das einfach gleichsetzen:

a=0 b=0
c=0 d=0 ?

19.01.2008, 22:42

tmo

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ja die sind linear unabhängig, also hast du eine basis des kerns gefunden.

19.01.2008, 22:44

WebFritzi

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Zitat:

Original von hasesh
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ -a & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das jetzt erfüllt? kann ich das einfach gleichsetzen:

a=0 b=0
c=0 d=0 ?

Fass die rechte Seite zu einer Matrix zusammen. Dann siehst du es.

20.01.2008, 09:30

hasesh

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moin,

eine basis von $\begin{eqnarray*} im(phi) \end{eqnarray*}$ würde dann lauten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+c & a+c \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = (a+c)* \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + (a+c)* \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 0*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} +0* \begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+c & a+c \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = (a+c)*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wie sieht es jetzt mit der Dimension der beiden Basen aus? Kann ich sagen, $\begin{eqnarray*} dim(im(\phi)) = 1 \end{eqnarray*}$ da es eine unabhängige Matrix gibt, die die Basis bildet?

Dann wäre $\begin{eqnarray*} dim(kern(\phi)) = 3 \end{eqnarray*}$ ?

Und $\begin{eqnarray*} dim(V) = 4 \end{eqnarray*}$ ???

Ich dachte, eine 2x2-Matrix hat die Dimension 2?

Danke & Gruß!!

20.01.2008, 12:46

WebFritzi

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Zitat:

Original von hasesh
Kann ich sagen, $\begin{eqnarray*} dim(im(\phi)) = 1 \end{eqnarray*}$ da es eine unabhängige Matrix gibt, die die Basis bildet?

Dann wäre $\begin{eqnarray*} dim(kern(\phi)) = 3 \end{eqnarray*}$ ?

Und $\begin{eqnarray*} dim(V) = 4 \end{eqnarray*}$ ???

Ich dachte, eine 2x2-Matrix hat die Dimension 2?

Ja

Ja

Ja

Nein. Eine solche Matrix hat doch 4 Einträge...

20.01.2008, 14:11

hasesh

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super! vielen dank!

bliebe noch c)

Ergänzen Sie eine Basis von $\begin{eqnarray*} ker(\phi) \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von V.

Wie mach ich das?

Ich habe eine Basis vom Kern und eine Basis vom Bild.

Kann ich die einfach zusammen tun, d.h. kombinieren?

$\begin{eqnarray*} r*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + u*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder könnte/müsste ich prüfen:

$\begin{eqnarray*} r*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + u*\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = r*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

21.01.2008, 09:59

hasesh

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zu c)

Ergänzen Sie eine Basis von $\begin{eqnarray*} ker(\phi) \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von V.

Wie mach ich das?

Ich habe eine Basis vom Kern und eine Basis vom Bild.

Kann ich die einfach zusammen tun, d.h. kombinieren?

$\begin{eqnarray*} r*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + u*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe mir daraus vier Gleichungen aufgestellt:

0 = r+u
0 = s+u
0 = -r+t
0 = t

=> einzige lösung r=s=t=u=0

d.h. ich kann so vor gehen, Basis vom Kern plus Basis vom Bild = Basis von V.

Stimmt das?

21.01.2008, 10:11

tigerbine

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Zitat:

Basis vom Kern plus Basis vom Bild = Basis von V.

Kern und Bild sind Unterräume von i.A. verschiedenen Vektorräumen. Es gilt im endlich Dimensionalen lediglich

$\begin{eqnarray*} \text{dim(Kern)} + \text{dim(Bild)} = \text{dim(V)} \end{eqnarray*}$

21.01.2008, 10:34

hasesh

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Gut. Wie ergänze ich dann die Basis des Kerns zu einer Basis von V?

21.01.2008, 10:40

tigerbine

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Na hier haben wir doch nur 2 Dimensionen, der Kern hat die Dimension 1. Finde also einen linear unabhängigen Vektor. Hier eben einen, der kein Vielfaches des kernerzeugenden Vektors ist.

21.01.2008, 11:03

hasesh

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entschuldigung, jetzt bin ich etwas verwirrt.

wir haben doch vorher herausgefunden, dass der dim (kern) = 3 ist und die dim (bild) =1.

wieso soll dim(kern) =1 sein???

versteh ich nicht...

Wie gesagt, ich habe mir gedacht, wenn dim(V)= 4 ist, dann kombiniere ich eben die Basis vom Kern mit der Basis vom Bild...

21.01.2008, 11:28

tigerbine

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Sorry, ich hatte nur auf die erste Matrix geschaut und dachte, die würde für die Abbildung stehen. Hammer

Hammer

Ich muss dann erstmal alles lesen.

Edit:

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V := M (2 \times 2, \mathbb R) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi: ~ V\to V,\quad \phi(X) = AXA,~\forall X \in V \end{eqnarray*}$

Basis des Kerns:

$\begin{eqnarray*} \text{Kern}(\phi) ) <\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, ~\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},~\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$

Diese Basis muss/kann nun nur noch durch eine l.u. Matrix zu einer Basis von V ergänzt werden. Wie sieht also das zu lösende System aus?

22.01.2008, 20:46

hasesh

Auf diesen Beitrag antworten »

zu c) Ergänzen Sie eine Basis von $\begin{eqnarray*} ker(\phi) \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von V.

Ich habe eine Basis vom Kern und eine Basis vom Bild.

Kann ich die einfach zusammen tun, d.h. kombinieren?

$\begin{eqnarray*} r*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + u*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder könnte/müsste ich prüfen:

$\begin{eqnarray*} r*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + u*\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = r*\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder anders (=wie) ?

Danke & Gruß!

22.01.2008, 21:58

tigerbine

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Zitat:

Original von hasesh
Ich habe eine Basis vom Kern und eine Basis vom Bild.

Kann ich die einfach zusammen tun, d.h. kombinieren?

Meine Meinung dazu kennst Du.

$\begin{eqnarray*} \text{Kern}(\phi) = <\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, ~\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},~\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix}> ~\subset V \end{eqnarray*}$

Linear unabhängig?

$\begin{eqnarray*} c_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + c_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c_3 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + c_4 \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

anders geschrieben, ergeben sich 4 Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} +c_1 + c_4 \cdot a = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} +c_2 + c_4 \cdot b = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -c_1 + c_4 \cdot c = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} +c_3 + c_4 \cdot d = 0 \end{eqnarray*}$

Aus I und III folgt dann

$\begin{eqnarray*} a \neq -c \end{eqnarray*}$

Damit folgt $\begin{eqnarray*} c-4=0 \Rightarrow c_1 = 0, c_2=0,~c_3=0 \end{eqnarray*}$ Und eine Möglichkeit wäre

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.01.2008, 17:31

hasesh

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danke!

also doch... die idee hatte ich ja auch schon, wusste nur nicht, ob diese wirklich sinn macht...

smile

smile

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