Flächenberechnung

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Susanne_Frank2 Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenberechnung
Hallo ihr!
Ich habe ein riesiges Problem.Ich soll Flächen berechnen und kann das nicht Freude

Weiß zufällig jmd. wie man die Fläche zwischen der Kurve und der Asymptote berechnet?

oder den scheitel von (y^3)+(x^3)=3axy ??? Vielen dank im voraus!

Ach ja habe da noch eine Frage:

Wie kommt man von 2 cos^2(sigma)-1 auf cos 2(sigma)?

Wär voll super wenn mir jmd. helfen könnte, da ich schon verschiede Möglickkeiten probiert habe aber nie uaf die richtige Lösung gekommen bin! Gott
Mathegreis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenberechnung
Hallo, Susanne_Frank2,

möchtest Du die Umformung der Formel wissen?

1) Sezte für und wende das Additionstheorem für den Kosinus an. Du erhälst dann

2)

Jetzt kannst Du in dem letzten Term ersetzen und erhälst einen neuen Term.

Diesen letzten Term kannst Du wieder umformen: Als Hilfsmittel benötigt man den bekannten Ausdruck:

Versuch mal die Umformung, ist nun nicht mehr schwer!

Zu Deiner ersten Aufgabe solltest Du genauere Angaben machen, besser noch einen eigenen Ansatz posten.

???

Viele Grüße
Susanne_Frank2 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Umformung!

Ich habe nicht gewusst, dass man cos2(alpha) gleich cos^2(alpha)-sin^2(alpha) setzten kann. Dann ist es ganz einfach!

Also zu meinem anderen Problem:

Die Gleichung ist wie du oben schon genannt hast, y^3+x^3=3axy.
Nun sollen wir die Asymptote und den Scheitel bestimmen.
Zur Asymptote:
Ich müsste die Gleichung nach y auflösen um die Asymptote zu bestimmen;dass kann ich aber nicht, also weiß ich nicht wie ich diese Berechnen soll.

Zum Scheitel:
Normalerweile rechne ich den Scheitel durch quadratissche Ergänzung(ist hier aber nicht möglich)
Dann wollte ich den TIP oder HOP bestimmen(ist ja meistens der Scheitel).Hat wieder nicht funktioniert!

Und jetzt?

Umformung:
ich bin auf cos^2(sigma)-sin^2(sigma) gekommen und habe dann für sin^2(sigma)=1-cos^2(sigma) eingesetzt und weiter bin ich nicht mehr gekommen. Aber die richtige Lösung lautete cos 2(sigma)...aber wenn cos 2(sigma)=cos^2(sigma)-sin^2(sigma) ist. dann ist es ja noch einfacher!Dafür vielen Dank!
Mathegreis Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, Susanne_Frank2,

zu Deiner Umformung: Du bist da auf dem richtigen Weg!

In Gleichung 2)

wird jetzt ersetzt - wie Du richtig sagst -

durch .

Gleichung 3)

Löse die Klammer auf und Du erhälst das, was Du haben wolltest!

Zu Deiner anderen Aufgabe: Sind die Exponenten wirklich 3 ?

Viele Grüße
Susanne_Frank2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, danke, das habe ich schon geschafft!

Ja leider, sie sind 3 verwirrt

Dann weißt du auch nicht wie man das berechnet oder?
Mathegreis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, leider nicht.

Deine Aufgabe sieht aber nicht wie eine gewöhnliche Funktion aus, eher nach einer Funktion mehrerer Veränderlicher.

Ich vermute, es gibt hier Experten, die sich mit derartigen Funktionen auskennen, meine aber auch, dass diese Aufgabe nicht in diesen Bereich passt.
Das wäre eher etwas für die Analysis.

Ich hoffe für Dich, dass sich noch jemand meldet!

Viele Grüße
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist tatsächlich nicht gewöhnlich, aber dennoch nur eine in zwei Variablen. Schwierigkeiten würde es bereiten, diese explizit darzustellen, daher nennt man die vorliegende Form implizite Darstellung einer Funktion mit zwei Variablen. Der Fachbereich erscheint hierfür falsch gewählt. Es ist auch kein Schulstoff.

Was bei der Funktion helfen könnte, ist, diese implizit zu differenzieren, da ja nur die Scheitel gefragt sind. In den Scheitelpunkten sind die Steigungen der Tangenten entweder Null oder Unendlich.

EDIT: Das stimmt hier nicht, sh. spätere Ausführungen!

| diff. (Ketten- und Produktregel)





Berechne jetzt mal y'.

[ ]

Nun diskutiere aus dem Bruch die möglichen Fälle ... daraus (mit Rückeinsetzen in die Funktionsgleichung) ergeben sich die Scheitel [ ... usw. ].

mY+
Susanne_Frank2 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, auf die Möglichkeit hätte ich auch kommen konnen unglücklich

Aber leider ist der Scheitel bei (3/2)a ; (3/2) a!

Also muss ich noch ein bisschen rumrechnen!

Aber danke trotzdem!
Freude
Susanne_Frank2 Auf diesen Beitrag antworten »



Da soll ich nun y´ einsetzten und dann bekomme ich den Scheitel?

Also ich habe immer gedacht, dass ich die erste Ableitung gleich null setzten muss?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du den Graphen der Funktion ansiehst, welcher für a = 1 erstellt wurde, siehst du, dass deine Angabe der Lösungen falsch ist.

EDIT: Die Lösung für den Scheitel ist in der Tat richtig, meine Definition trifft hier nicht zu, sorry!

mY+
Susanne_Frank2 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie kann ich dann den Scheitel errechnen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Bild zeigt, dass insgesamt drei getrennte (explizite) Funktionen vorliegen. Im Gesamten stellt dies keine Funktion, sondern nur eine Zuordnung dar, weil es dann zu einem x-Wert nicht einen eindeutigen Funktionswert gibt.

Zitat:
Original von Susanne_Frank2


Da soll ich nun y´ einsetzten und dann bekomme ich den Scheitel?

Also ich habe immer gedacht, dass ich die erste Ableitung gleich null setzen muss?


Wieso fragst du wieder, ich habe dir den Weg bereits beschrieben.

EDIT: Das Folgende betrifft nun nicht den "richtigen" Scheitel, sondern nur den höchsten Punkt und den am weitesten rechts liegenden Punkt (Umkehrpunkt). Leider ein Irrtum, sorry!

Selbstverständlich musst du das, aber erst musst du aus der impliziten Ableitung das y' isolieren. Ich habe das oben auch schon bereits skizziert. Multipliziere aus und stelle nach y' um. Das ist dann der ebenfalls bereits von mir angegeben Bruch. Bei diesem setzt du zunächst den Zähler Null (-> Scheitel mit horizontaler Tangente), danach den Nenner (-> Scheitel mit vertikaler Tangente).

Nach Nullsetzen des Zählers erhältst du , mit diesem gehst du zurück in die Funktionsgleichung, um letztendlich die Koordinaten des fraglichen Punktes zu bestimmen (x-Wert habe ich dir auch schon angegeben). Analog für den rechten Scheitel mit vertikaler Tangente (Nenner = 0)

Die beiden Scheitel gehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1.Quadranten hervor, d.h. sie liegen zu dieser symmetrisch.

Übrigens: Was geschieht im Nullpunkt?

mY+
Susanne_Frank2 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe jetzt beide Scheitelpunkte ausgerechnet!

Und für Zähler gleich 0 bekomme ich den von dir schon angegebenen Wert 3 Wurzel aus 2 *2 raus. Wenn ich den Nenner gleich null setzte bekomme ich für den x-Wert 3 Wurzel aus 8 *a heraus.

Aber den Wert, den ich ausrechnen soll ist: 3/2 a ????


Was mache ich falsch? unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst nichts falsch, (3/2)a stimmt einfach nicht. Exakt lauten die Scheitel



und das ist dezimal

(1,26a; 1,587a) bzw. (1,587a; 1,26a)

1,587a ist eben nur näherungsweise 1,5a

mY+

EDIT: Fehlinterpretation von mir, sorry. Sh. die Berichtigungen. mY+
Susanne_Frank2 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber bei Wikipedia steht, dass der Scheitel (3/2)a (3/2)a ist.

http://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Blatt
Susanne_Frank2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ien Idee und zwar, bekommt man doch auch den Scheitel, wenn man die Kurve mit der Symmetrieachse schneiden lässt, oder?

Vll. bekomme ich ja dann ein richtiges Ergebnis...

Weiß zufällig jemand, wie ich beweisen kann, dass die Winkelhalbierende die Symmetrieachse ist?

Dankeschön! Freude
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist die Sache mit dem Scheitel klar. Unter dem Scheitel versteht man normalerweise jenen Punkt, in dem die Tangente waagrecht bzw senkrecht bezüglich der Koordinatenachsen liegt. Beim kartesischen Blatt ist der Scheitel jedoch offensichtlich jener Punkt, der von der Asymptote die größte Entfernung hat, er liegt auf der Geraden y = x (Symmetrieachse).

Somit haben wir in der Kurvengleichung nur noch x = y zu setzen:







Jetzt erhalten wir den in der Lösung angegebenen Scheitel (dessen Tangente die Steigung -1 hat, sie ist parallel zur Asyptote).

mY+
Susanne_Frank2 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dass ich zufällig auf eine Seite gekommen bin, auf der steht:

Bei Kegelschnitten erhält man den Scheitel, indem man die Kurve mit der Symmetrieachse schneidet.

Aber kannst du mir vielleicht sagen, wie man auf die Asymptote x+y+a=0 kommt?

Da ich die Gleichung nicht nach y auflösen kann, kann ich nicht die normalen Regeln anwenden! unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das kartesische Blatt ist zwar kein Kegelschnitt, aber hier stimmt das auch, die Symmetrieachse ist y = x, und darauf liegt der Scheitel.

Die Scheitel einer Kurve sind übrigens jene Punkte, in denen die Krümmung einen größten oder kleinsten Wert hat.

Ich habe die längste Zeit einfach die Eigenschaften des Scheitels fehlinterpretiert und daher falsche Aussagen getroffen. Bitte entschuldige die Unannehmlichkeiten!

Über das kartesische Blatt gibt es - nicht sehr ausführliche und auch nicht viele, aber doch einige - Informationen im Netz, unter anderem ein recht instruktives PDF. Du kannst ja nochmals danach suchen! Wie die Asymptote berechnet wird, habe ich jedoch nirgends entdecken können.

mY+
Susanne_Frank2 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay dann werde ich danach suchen!

Vielen Dank!

Susanne!
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