Zeilenreduktion

19.01.2008, 15:16

Egon

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Zeilenreduktion

Hi!

Ich habe die folgende Aufgabe:

Zitat:

Man finde alle Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+2x_3-x_4=3 \end{eqnarray*}$ .

Nun weiss ich nicht ganz, was hier gemeint ist: Da es nur eine Zeile gibt, kann ich ja keine Zeilenreduktion machen und wenn ich die Matrix aufstelle, beginnt die Zeile ja schon mit einer Eins und muss nicht weiter umgeformt werden.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1&2&-1&3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So kann ich eigentlich nur die Lösungen explizit angeben:

$\begin{eqnarray*} x_1=3-x_2-2x_3+x_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=3-x_1-2x_3+x_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=3-x_1-x_2+x_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4=3-x_1-x_2-2x_3 \end{eqnarray*}$

Aber das kann doch wohl nicht gemeint sein, oder?

19.01.2008, 15:24

klarsoweit

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RE: Zeilenreduktion
Zunächst ist das ein inhomogenes GLS. Dessen Lösung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung des homogenen GLS und einer speziellen Lösung des inhomogenen GLS. Letzteres ist kein Problem. Die allgemeine Lösung des homogenen GLS ist ein Untervektorraum. Die Basis davon erhältst, wenn du die Lösungen zu folgenden Fällen bestimmst:

1. x_4 =1, x_3 = x_2 = 0
2. x_3 =1, x_4 = x_2 = 0
3. x_2 =1, x_4 = x_3 = 0

19.01.2008, 15:42

Egon

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RE: Zeilenreduktion
Vielen Dank; dem werde ich nachgehen.

Frage: Wie komme ich auf diese drei Fälle -- darf ich einfach immer der Reihe nach eine Variable auf 1 und die anderen auf 0 setzen? Warum wird x_1 weggelassen bzw. kann man sich eine beliebige Variable aussuchen, die man weglässt?

19.01.2008, 15:50

WebFritzi

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RE: Zeilenreduktion
Ich finde es wie folgt leichter zu verstehen:

Homogene Gleichung: $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+2x_3-x_4=0. \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+2x_3 = x_4. \end{eqnarray*}$

Setze nun $\begin{eqnarray*} r = x_1, \;s = x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t = x_3. \end{eqnarray*}$ Dann sieht der Lösungsvektor wie folgt aus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r\\s\\t\\r+s+2t\end{pmatrix} = r\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Die drei Vektoren auf der rechten Seite bilden also eine Basis des Lösungsraumes (der homogenen Gleichung).

19.01.2008, 15:56

Egon

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RE: Zeilenreduktion
Wow, danke!

So ist es in der Tat verständlicher. Dann würde die Übungsaufgabe eigentlich eher ins Kapitel über Vektorräume gehören, als in das einführende Kapitel zu den Matrizen - oder sehe ich das falsch?

Ich kann mir mit meinem momentanen Kenntnisstand die Lösung bzw. die Lösungen nicht plastisch vorstellen.

19.01.2008, 16:48

WebFritzi

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RE: Zeilenreduktion

Zitat:

Original von Egon
So ist es in der Tat verständlicher. Dann würde die Übungsaufgabe eigentlich eher ins Kapitel über Vektorräume gehören, als in das einführende Kapitel zu den Matrizen - oder sehe ich das falsch?

Nun, ich würde eher sagen, dass das in den Bereich Schule gehört. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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21.01.2008, 09:08

klarsoweit

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RE: Zeilenreduktion

Zitat:

Original von Egon
Frage: Wie komme ich auf diese drei Fälle -- darf ich einfach immer der Reihe nach eine Variable auf 1 und die anderen auf 0 setzen? Warum wird x_1 weggelassen bzw. kann man sich eine beliebige Variable aussuchen, die man weglässt?

Man muß eigentlich nur die einschlägigen Regeln beachten:

Befindet sich eine Matrix in Zeilen-Stufen-Form, dann gilt für die Lösung des zugehörigen homogenen GLS:

1. Die Anzahl der nicht frei wählbaren Variablen ist gleich der Anzahl der Nicht-Null-Zeilen. Hier also 1.

2. Die nicht frei wählbaren Variablen entsprechen jeweils dem ersten Nicht-Null-Element jeder Zeile. Hier also x_1.

3. Bei den frei wählbaren Variablen setzt man nacheinander eine Variable = 1 und die anderen Null und bestimmt jeweils die Lösung des GLS. Diese Lösungen bilden eine Basis des Lösungsraums.

21.01.2008, 10:18

Egon

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RE: Zeilenreduktion
@WebFritzi

Was den Inhalt angeht, natürlich schon; wir haben in der Schule ja auch Gleichungssysteme gelöst. Allerdings haben wir nie von Lösungsräumen, Unterräumen gesprochen. Auch haben wir nie die Matrix- und Vektorenschreibweise verwendet.

@klarsoweit

Danke!

Ich kann einfach mit dem Begriff "Basis des Lösungsraums" (noch) nichts anfangen.

21.01.2008, 13:23

klarsoweit

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RE: Zeilenreduktion

Zitat:

Original von Egon
Allerdings haben wir nie von Lösungsräumen, Unterräumen gesprochen. Auch haben wir nie die Matrix- und Vektorenschreibweise verwendet.

Das ist natürlich toll. Da wird mal wieder das Pferd von hinten aufgezäumt.

Grob gesprochen gilt folgendes: Wenn die Vektoren u, v und w Lösungen der homogenen Gleichung sind, dann sind auch alle Kombinationen der Form r*u + s*v + t*w eine Lösung. Die Gesamtheit dieser Kombinatoinen bilden einen Unterraum, von dem die Vektoren u, v und w eine Basis bilden.

21.01.2008, 15:40

Egon

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RE: Zeilenreduktion
Danke (auch für die Geduld)

Man könnte also sagen, dass "Lösungsraum" quasi äquivalent zu "Lösungsmenge" ist, einfach auf einer anderen Stufe?

Und "eine Basis" schreibt ihr beiden deshalb, weil man die Basisvektoren ändern könnte und dann einfach die Parameter r, s und t anpassen müsste, richtig?

Ich kannte bisher nur die Möglichkeit, die Lösung als Lösungsmenge oder in der Form (als Beispiel unabhängig der urspr. Aufgabe)

w = 5
x = 5-y+2z
y = 3/2*z
z frei wählbar

anzugeben.

21.01.2008, 15:57

klarsoweit

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RE: Zeilenreduktion

Zitat:

Original von Egon
Man könnte also sagen, dass "Lösungsraum" quasi äquivalent zu "Lösungsmenge" ist, einfach auf einer anderen Stufe?

So ungefähr. Ein Lösungsraum erfüllt zusätzliche Bedingungen. Beispielsweise kann man 2 Lösungen addieren und erhält dadurch eine neue Lösung. Bei einer "normalen" Lösungsmenge muß das nicht so sein.

Zitat:

Original von Egon
Und "eine Basis" schreibt ihr beiden deshalb, weil man die Basisvektoren ändern könnte und dann einfach die Parameter r, s und t anpassen müsste, richtig?

So ist es.

21.01.2008, 20:43

Egon

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RE: Zeilenreduktion
Ich werde das noch weiter üben; Aufgaben gibt's ja genügend.

Aber um noch einmal zur urspr. Aufgabe zu kommen: Wie gibt man denn die Lösung dieser Aufgabe an, so?

$\begin{eqnarray*} L = r\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und zu deinem anderen Tipp:

Zitat:

Zunächst ist das ein inhomogenes GLS. Dessen Lösung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung des homogenen GLS und einer speziellen Lösung des inhomogenen GLS. Letzteres ist kein Problem. Die allgemeine Lösung des homogenen GLS ist ein Untervektorraum. Die Basis davon erhältst, wenn du die Lösungen zu folgenden Fällen bestimmst:

1. x_4 =1, x_3 = x_2 = 0
2. x_3 =1, x_4 = x_2 = 0
3. x_2 =1, x_4 = x_3 = 0

Ich habe dazu die urspr. Gleichung genommen und rechts anstatt =3 eben =0 gesetzt, weil du homogen schriebst. Dann habe ich diese drei Dinge gemacht und folgende Lösungen erhalten:

x_1 = 1 (aus 1.)
x_1 = -2 (aus 2.)
x_1 = -1 (aus 3.)

Was nützt mir das jetzt, um eine Basis für den Lösungsraum zu finden? Oder ist das auch wieder verkehrt?

22.01.2008, 10:06

klarsoweit

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RE: Zeilenreduktion

Zitat:

Original von Egon
Aber um noch einmal zur urspr. Aufgabe zu kommen: Wie gibt man denn die Lösung dieser Aufgabe an, so?

$\begin{eqnarray*} L = r\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man könnte das so schreiben:

$\begin{eqnarray*} L = \left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} \in R^4 | \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = r\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Aber Achtung: das ist "nur" die Lösungesmenge des homogenen Systems.

Zitat:

Original von Egon
Ich habe dazu die urspr. Gleichung genommen und rechts anstatt =3 eben =0 gesetzt, weil du homogen schriebst. Dann habe ich diese drei Dinge gemacht und folgende Lösungen erhalten:

x_1 = 1 (aus 1.)
x_1 = -2 (aus 2.)
x_1 = -1 (aus 3.)

Was nützt mir das jetzt, um eine Basis für den Lösungsraum zu finden? Oder ist das auch wieder verkehrt?

Du brauchst das nur als Vektoren schreiben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.01.2008, 11:31

Egon

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RE: Zeilenreduktion

Zitat:

Man könnte das so schreiben:

$\begin{eqnarray*} L = \left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} \in R^4 | \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = r\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Aber Achtung: das ist "nur" die Lösungesmenge des homogenen Systems.

Vielen Dank. Und wie "hänge" ich die spezielle Lösung des inhomogenen Systems an?

Zitat:

Du brauchst das nur als Vektoren schreiben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mann, bin ich blöd -- und du geduldig. Natürlich. Dann ist das eigentlich gerade ein gutes Beispiel dafür, dass man den Lösungsraum mit verschiedenen Vektoren aufspannen kann.

22.01.2008, 11:58

klarsoweit

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RE: Zeilenreduktion

Zitat:

Original von Egon
Vielen Dank. Und wie "hänge" ich die spezielle Lösung des inhomogenen Systems an?

Füge die spezielle Lösung einfach als weiteren Summanden hinzu.

22.01.2008, 12:10

Egon

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RE: Zeilenreduktion
Also hätte ich (z. B.)

$\begin{eqnarray*} L = \left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} \in R^4 | \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\0\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

könnte aber auch (1 1 1 1)^T nehmen?

Jetzt kann ich mir auch etwas darunter vorstellen; da das ganze ja der parametrischen Darstellung einer Gerade oder einer Ebene ähnelt und hier dann eben einen "Raum" darstellt.

22.01.2008, 12:18

klarsoweit

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RE: Zeilenreduktion
100% ok. Freude

Freude

22.01.2008, 12:19

WebFritzi

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RE: Zeilenreduktion

Zitat:

Original von Egon
Jetzt kann ich mir auch etwas darunter vorstellen; da das ganze ja der parametrischen Darstellung einer Gerade oder einer Ebene ähnelt und hier dann eben einen "Raum" darstellt.

Genau so ist es. Du hast es erfasst. Und da ist es auch egal, was du als Stützvektor wählst. Hauptsache, er liegt auf der Ebene/Gerade (im allg.: im Lösungsraum).

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