Erwartungswert bei einem fairen Spiel |
| 19.01.2008, 15:29 | Katja87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Erwartungswert bei einem fairen Spiel hoffe ihr könnt mir bei einer bestimmten Frage helfen. Also, die Aufgabe lautet Zwei Spieler Andreas (A) und Benjamin (B) setzen a bzw. b Euro ein und werfen einen fairen Würfel in der Reihenfolge A B A B A B... Den Einsatz beider Spieler gewinnt derjenige, der zuerst eine Sechs würfelt. Wenn Benjamin nun 10 € einsetzt, wieviel Euro muss dann Andreas einsetzen, damit das Spiel fair ist? Ich bin total planlos :-( , das einzige was ich herausgefunden habe ist, das faires Spiel E(X)=0 bedeutet. Würde mich über Hilfe sehr freuen. Grüße |
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| 19.01.2008, 15:48 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann fangen wir mal an: Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit, daß A gewinnt? |
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| 19.01.2008, 16:24 | Katja87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das stellt schon ein ziemliches Problem dar. Ich bin am überlegen wie ich die Aufgabe mit einem Baumdiagramm zeigen kann, aber da haperts... |
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| 19.01.2008, 16:41 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vollständig zeichnen können wirst du den Baum eh nicht, das Spiel kann ja beliebig lange dauern. Fangen wir mal so an: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß A sofort im ersten Wurf gewinnt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß A mit dem insgesamt dritten Wurf gewinnt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß A mit dem insgesamt fünften Wurf gewinnt? usw. Wenn du dir die Wahrscheinlichkeiten dafür anschaust, sollte dir etwas auffallen (Hoffe ich), so daß du die nächste Frage beantworten kannst? Wie große ist nun also die Wahrscheinlichkeit, daß A im (2n+1)-ten Wurf gewinnt? Diese Wahrscheinlichkeiten mußt du nun alle zusammen addieren. Das sind aber dummerweise unendlich viele. Es geht aber trotzdem, ich hoffe du kommst darauf, wie. |
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| 19.01.2008, 17:33 | Katja87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich habe die Folge für die W'keit gefunden. 5^2n/6^2n+1. wobei n>=0 also muss man die summe von k=0 bis n von dieser folge betrachten. weiß aber nicht ob ich jeden summand in der summe mit (2n+1) multiplizieren soll. kannst du mir weiterhelfen... |
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| 19.01.2008, 18:12 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, mußt du nicht. Und du addierst auch nicht von k=0 bis n, n taucht ja schon als Exponent in deiner Wahrscheinlichkeit auf. Du willst folgende Wahrscheinlichkeiten addieren, ich schreibe die mal etwas schöner, so daß du vielleicht siehst, worauf ich hinaus will: Und dann nehmen wir mal an, A setzt den Betrag x. Dann sackt er mit der oben ausgerechneten Wahrscheinlichkeit die 10 Euro seines Gegners ein. Und mit der Gegenwahrscheinlichkeit darf er diesem seine x Euro aushändigen. Also wie hoch ist der Erwartungswert? (in Abhängigkeit von x) Und iwe hoch muß x sein, damit er 0 wird? |
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| 19.01.2008, 19:10 | Katja87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kommt man auf ein Erwartungswert des Spielers A. Die Summe geht ja bis unendlich. wie kann man das am besten rechnen? grüße |
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| 19.01.2008, 19:11 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
stichwort: geometrische reihe. |
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| 19.01.2008, 19:28 | Katja87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte helft mir, irgendwie verstehe ich das nicht so ganz. |
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| 19.01.2008, 19:31 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
es geht nun darum, diese unendliche reihe zu berechnen. dies ist sehr einfach da es eine geometrisch reihe ist. kennst du den reihenwert einer geometrischen reihe? |
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| 19.01.2008, 19:40 | Katja87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie rechnet man nochmal den reihenwert aus? |
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| 19.01.2008, 19:41 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier wird er sogar hergeleitet. |
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| 19.01.2008, 19:55 | Katja87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, der Reihenwert von dieser geometrischen Reihe hab ich ausgerechnet ist 47/216. Richtig? und was mache ich jetzt? |
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| 19.01.2008, 19:57 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das stimmt nicht. alleine schon von der logik her: A fängt doch an, also wird die wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt wohl knapp über 50% liegen. |
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| 19.01.2008, 20:11 | Katja87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was könnte ich falsch gemacht haben? |
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| 19.01.2008, 20:21 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich frage mich vor allem wie du auf 47 im zähler kommst. 
wie ist denn bei unserer reihe ? und welchen wert hat ? |
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| 19.01.2008, 20:27 | Katja87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ich habe für q= 25/36 und für a0 = 1/6 genommen. |
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| 19.01.2008, 20:36 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das ist richtig. dann musst du jetzt nur noch berechnen. das ist elementare bruchrechnung, wie man sie in der 6ten klasse lernt. |
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| 19.01.2008, 20:42 | Katja87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry, ich weiß nicht was ich falsch im taschenrechner eingetippt habe, nun komme ich irgendwie auf 6/11, die gegenwahrscheinlichkeit P(B) ist dann 5/11, so was mache ich nun weiter? Und danke dir für deine Hilfe |
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| 19.01.2008, 21:06 | Katja87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
soll der A-Spieler 12 € einsetzen damit Spiel fair ist? Ich habe dann 6/11*10 = 5/11x gesetzt und kam auf 12 |
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| 19.01.2008, 21:08 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja das die richtige lösung 
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| 19.01.2008, 21:11 | Katja87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke danke danke!!! Ich liebe dich 
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