Wahrscheinlichkeit für ein Zahlenpaar (z.B. 11 und 12 oder 45 und 46) im Lotto

19.01.2008, 15:32

test4886

Wahrscheinlichkeit für ein Zahlenpaar (z.B. 11 und 12 oder 45 und 46) im Lotto

Ich habe diesen Artikel gefunden http://www.morgenpost.de/content/2008/01...aft/941414.html

Zitat:

Und in der Tat, wer Mathe kann, der kann ausrechnen, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Zahlenzwilling cirka 50,5 Prozent ist.

Wie kann man diese Wahrscheinlichkeit berechnen? Ich habe es probiert, finde aber keinen Lösungsansatz.

Ich danke für eure Hilfe.

19.01.2008, 22:21

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte ich Professor Ziegler mal treffen, werde ich mit ihm wetten. Es sollte gelten

$\begin{eqnarray*} p_{n,k}=1-\frac{{n-k+1\choose k}}{{n\choose k}} \end{eqnarray*}$

für die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Spiel "k aus n" mindestens 2 aufeinanderfolgende Zahlen dabei sind.

Insbesondere

$\begin{eqnarray*} p_{49,6}=1-\underbrace{\frac{7059052}{13983816}}_{\approx 50.5\text{%}}=\frac {22483}{45402} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

20.01.2008, 01:22

test4886

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort.
Hast du eine kurze Erklärung dafür? Z.B. warum du mit dem Gegenereignis arbeitest?

Ich vermute das "+1" kommt daher, weil es 2 aufeinanderfolgende Zahlen sein sollen. Für 3 aufeinanderfolgende Zahlen, sollte es dann analog "+2" sein. Das ergäbe eine Wahrscheinlichkeit von ca. 47 % für einen Drilling und das kommt mir dann doch zu hoch vor. Oder darf man die Formel aus irgendeinem Grund nicht analog anwenden?

20.01.2008, 11:08

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein nicht ganz einfaches Problem - trotz überraschend simpler Lösung!

Man könnte folgendermaßen modellieren: Stelle dir eine Tabelle vor, deren Spalten mit 1,2,3,…,49 überschrieben sind. Wenn nun eine Kugel bei einer Ziehung dabei ist, trägst du eine 1 in der entsprechenden Spalte ein, ansonsten eine 0. So bedeutet z.B.

001010001100001000001000…0

daß die Ziehung die Kugeln 3,5,9,10,15,21 hervorbrachte. Jede mögliche Ziehung entspricht daher einem Wort der Länge 49 aus den beiden Buchstaben 0 und 1, wobei die 0 genau 43-mal und die 1 genau 6-mal vorkommen sollen. Diese Wörter bilden die möglichen Fälle $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Die Anzahl der Wörter beträgt

$\begin{eqnarray*} |\Omega| = \frac{49!}{43! \, 6!} = {{49} \choose 6} \end{eqnarray*}$

Es sei nun $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ das Ereignis, daß die Ziehung mindestens zwei aufeinander folgende Zahlen enthält. Das Gegenereignis $\begin{eqnarray*} \bar{A} \end{eqnarray*}$ besteht also aus den Ziehungen, bei denen keine zwei aufeinander folgenden Zahlen vorkommen. In den Wörtern oben muß dann zwischen zwei Einsen mindestens eine 0 stellen. Um diese Wörter zu zählen, fängst du am besten ohne die Einsen an. Vor dir liegt ein Wort der Länge 43 aus lauter Nullen:

00000000000...000

Wie viele Möglichkeiten hast du jetzt, Einsen einzuschieben, damit ein Wort von $\begin{eqnarray*} \bar{A} \end{eqnarray*}$ entsteht?

Und mit

$\begin{eqnarray*} P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{|\bar{A}|}{|\Omega|} \end{eqnarray*}$

bekommst du dann therisens Formel.

Siehe auch hier.

Und in diesem Strang kannst du sehen, wie Leopold kompliziert denkt, bis ihm plötzlich ein Licht aufgeht.

20.01.2008, 12:32

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Und in diesem Strang kannst du sehen, wie Leopold kompliziert denkt, bis ihm plötzlich ein Licht aufgeht.

Ich kann dich beruhigen: Diese Aufgabe kann man noch sehr viel komplizierter lösen (Rekursion).

20.01.2008, 17:46

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von test4886
Ich vermute das "+1" kommt daher, weil es 2 aufeinanderfolgende Zahlen sein sollen. Für 3 aufeinanderfolgende Zahlen, sollte es dann analog "+2" sein. Das ergäbe eine Wahrscheinlichkeit von ca. 47 % für einen Drilling und das kommt mir dann doch zu hoch vor. Oder darf man die Formel aus irgendeinem Grund nicht analog anwenden?

Hübsche Analogiebildung, aber leider falsch geraten. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Drilling ist 4331/90804, also rund 4,8 %. Für mindestens einen echten Drilling, der also nicht in einem Vierling, Fünfling oder Sechsling enthalten ist, ist die Wahrscheinlichkeit 28337/635628, das sind rund 4,5 %. Angaben ohne Gewähr.
Du kannst ja einmal selbst versuchen, das mit der oben beschriebenen Methode herauszubekommen.

23.01.2008, 20:29

test4886

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mit der Formel von therisen kommt man dann aber auf 49,5 % statt der im Artikel beschriebenen 50,5 % oder sehe ich da was falsch?

23.01.2008, 22:20

Auf diesen Beitrag antworten »

Du nicht, aber Professor Ziegler: Er begeht den sehr beliebten Fehler, die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der des Komplements zu verwechseln. Auch ein Professor kann mal irren. Augenzwinkern

23.01.2008, 23:44

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Besonders lustig ist, dass das seine Argumentation zunichte macht:

Zitat:

Also eine 50-zu-50-Chance? Gut, könnte ich sagen, dann wetten wir um 1000 Euro, dass nächsten Sonnabend wieder ein Paar dabei ist! Nein, könnten Sie sagen, wer wetten will, der will betrügen. Und in der Tat, wer Mathe kann, der kann ausrechnen, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Zahlenzwilling cirka 50,5 Prozent ist. Das heißt also, dass ich bei der Wette eine höhere Gewinnwahrscheinlichkeit habe als Sie!

Hätte er nicht mit seinem Namen unterschrieben, würde ich sagen, dass irgendein Journalist den Artikel geschrieben hat und in dem mathematisch korrekten Paper von Prof. Ziegler die falsche Wahrscheinlichkeit ausgesucht hat. Vielleicht war es ja doch so Augenzwinkern

25.01.2008, 20:27

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von therisen
Sollte ich Professor Ziegler mal treffen, werde ich mit ihm wetten.

Ich kann die Wette gerne weitertragen. Ich sitze mit diesem Herrn im selben Stockwerk. Augenzwinkern

26.01.2008, 11:26

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meint denn Professer Z. zur Problematik der Anwendungsorientiertheit? (siehe diesen Strang)

Neue Frage »

Antworten »

Wahrscheinlichkeit für ein Zahlenpaar (z.B. 11 und 12 oder 45 und 46) im Lotto

Verwandte Themen