Konvergenz des Newtonverfahrens |
19.01.2008, 15:45 | Tschulee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Konvergenz des Newtonverfahrens Eine Frage: Konvergiert das Newtonverfahren, also wenn es konvergiert, immer quadratisch??? Danke! Mfg Tschulee |
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19.01.2008, 16:20 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soweit ich weiß ja. mfG 20 |
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19.01.2008, 17:40 | Chris2005 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
und ist das "einzige" konvergenzkriterium wirklich nur oder gibt es allgemeinere kriterien welche mir die konvergenz etwa für alle positiven startwerte liefert? mfg Chris |
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20.01.2008, 14:28 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Immer quadratisch? Imho stimmt das nicht.
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20.01.2008, 17:32 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hast du auch ein Gegenbeispiel? Ich hab selbst auch keine Ahnung, ob es tatsächlich immer quadratisch konvergiert. Aber dein Beweis für die superlineare Konvergenz unter bestimmten Voraussetzungen ist ja noch kein Beweis dafür, dass die Konvergenz dann nicht auch quadratisch ist, sie kann es ja trotzdem immer sein. |
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20.01.2008, 17:36 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn f zweimal stetig diffbar ist, dann ist das Newtonverfahren lokal quadratisch konvergent, steht so in meinem Buch (Dahmen/Reusken). mfG 20 edit: stetig ergänzt |
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20.01.2008, 17:40 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mag ja sein. Und was machst du, wenn nicht zweimal stetig differenzierbar ist? Kann ja sein, dass die Newtonfolge dann trotzdem noch konvergiert, allerdings nicht mehr quadratisch. |
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20.01.2008, 17:59 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich wollte nur meine obige Antwort rechtfertigen Ich war mir über die Voraussetzungen nicht im klaren, jetzt siehts anders aus. Ich würde aber auch gerne ein Gegenbeispiel sehen. mfG 20 |
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20.01.2008, 18:26 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Konstruiert doch mal eine Funktion, die nur der ersten Bedingung genügt. Dann könnten wir weiter untersuchen (Ball zurück schieß ) Heute wird mir die Zeit dafür fehlen, also erinnert mich sonst im Laufe der Woche nochmal. Gruß, tigerbine edit: Hier mal ein Funktionsansatz mit dem ich damals ein Beispiel konstruieren wollte. Richtig ist, dass der nachweis der supl. Konvergenz erstmal die Möglichkeit der quadratischen nicht ausschließt. Aber so wie ich es verstanden hatte, muss man quasi das Extra L-Stetig haben, um diese nachweisen zu können. Das Beispiel würde dann ja, bei Betrachtung auf geeignetem Intervall wieder quad. Konvergenz liefern. Mit der aussage von WebFritzi könnte müßte das dann ja für jede stetig diffbare Funktion klappen. Also doch wieder quadratisch? |
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20.01.2008, 18:51 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sei bei . Für die Folge mit und sieht man induktiv, dass jedes ist. (Diese "Hilfsfolge" habe ich nur eingeführt, damit man sieht, dass die Newtonfolge auch definiert ist.) Diese Folge ist eine geometrische Folge: und somit konvergent. Außerdem gilt: . Es ist also die Newtonfolge von mit Startwert . Wegen ist die Konvergenz dieser Folge aber sogar nur linear, also nicht einmal superlinear! edit: Deinen Edit, tigerbine, habe ich jetzt erst gesehen. Sieht aber sehr unsortiert aus das Ganze dort, deswegen wurschtel' ich mich da mal nich durch. Hab ja jetzt schon ein Gegenbeispiel gefunden. |
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20.01.2008, 19:01 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Unsortiertes Gewurschtel .rofl: Naja, ob das hier besser ist. Aber ich muss machen. An mehrfache Nullstellen hatte ich gerade gar nicht gedacht. (*Gedanken wo anders sind *) Kannst Dich ja da mal durchwuseln... Aber ein Beispiel für den Fragesteller haben wir (Du)^^) nun ja angegeben. Interessant fände ich jetzt dennoch die Betrachtung für einfache Nullstellen, also bei meinem ersten Ansatz. Kann man da durch die Wahl eines kompakten Intervalls alles immer noch in Wohlgefallen (quadr. Konverganz) auflösen? LG
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20.01.2008, 19:57 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Du hast ja oben gezeigt, dass das jedenfalls dann gilt, wenn Lipschitz-stetig ist. Allerdings muss nicht Lipschitz-stetig sein, wie das Beispiel , zeigt. Hier ist mit und . Nun könnte man ja einfach mal die Newton-Folge für diese Funktion betrachten und gucken, was passiert. Also los: Sei . . Induktiv sieht man jetzt schnell, dass jedes im Intervall liegt. Z.B. durch folgende Abschätzung: . Diese bringt auch die Konvergenz der Folge gegen und wegen beträgt die Konvergenzordnung . |
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21.01.2008, 00:49 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ohne Dein Beispiel schon gelesen zu haben, habe ich in dem anderen Thread einen Fehler gemacht. Ich fragte, ob f L-stetig ist, hätte aber nach f' fragen müssen. Wenn wir nun eine nur 1x stetig diffbare Funktion f nehmen, so ist f' ja nicht mehr stetig diffbar. also kann man den Satz von WebFritzi auch nicht anwenden. |
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21.01.2008, 19:25 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig, das ist mir auch schon etwas früher aufgefallen, dachte aber, es wäre dir klar bzw. hab deswegen durch den anderen Thread auch nicht wirklich durchgeblickt. Deswegen hab ichs auch nicht erwähnt. |
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