Wahrscheinlichkeitsraum

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Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsraum
Nehmen wir das Werfen eines fairen Würfels. Die möglichen Ausgänge sind . Die fassen wir zusammen zum Ergebnisraum



zusammen. Die einelementigen Mengen sind jetzt die Elementarereignisse, und jedes von ihnen hat die Wahrscheinlichkeit (fairer Würfel):



Eigentlich müßte man usw. schreiben. Aus Gründen der Schreibbequemlichkeit läßt man aber oft die inneren geschweiften Klammern weg.

Und jetzt zu den Ereignissen. Die Elementarereignisse hatten wir schon oben. Und wenn man nun Ausgänge zusammenfaßt, so erhält man weitere Ereignisse:





Und alle möglichen Ereignisse faßt man jetzt zur Algebra der Ereignisse zusammen:



Zu den Ereignissen zählt man auch das unmögliche Ereignis (Wahrscheinlichkeit 0) und das sichere Ereignis (Wahrscheinlichkeit 1). In diesem Beispiel gibt es insgesamt verschiedene Ereignisse.

Jetzt haben wir erklärt, was und was bedeuten. Jetzt fehlt noch . Auf den Elementarereignissen haben wir oben schon festgelegt. Und für ein beliebiges Ereignis addiert man einfach die Einzelwahrscheinlichkeiten der in ihm vorkommenden Ausgänge auf:



Zum Beispiel beim obigen :
.

Was ich hier aufgeschrieben habe, ist das Beispiel eines endlichen Wahrscheinlichkeitsraumes , sogar eines Laplace-Raumes (da alle Ausgänge gleichwahrscheinlich sind - das braucht allgemein nicht so zu sein!). Da ist also einfach die Potenzmenge von . Bei überabzählbarem wird die Sache um einiges komplizierter. Da ist es nicht mehr möglich, jeder Teilmenge von eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Das liegt letztlich an der mengentheoretisch-topologisch-logischen Komplexität der uns scheinbar so vertrauten Menge . In der sogenannten Maßtheorie beschäftigt man sich damit, möglichst vielen Teilmengen von eine Wahrscheinlichkeit zuzuschreiben. Die Teilmengen, für die das geht, faßt man zur -Algebra zusammen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ergänzend sei nur noch hinzugefügt, dass (also Potenzmenge) und die dort dann gültige Wahrscheinlichkeitsberechnung auf der Grundlage von



nicht nur für alle endlichen, sondern auch abzählbaren Ergebnisräume gültig ist.
w17rb Auf diesen Beitrag antworten »

dankeschön! :-)
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