Herleitung der Sigma-Regeln

26.06.2005, 10:57	Wundsalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Sigma-Regeln Hey! Ich muss demnächst ein Referat über die Standardabweichung und die Sigmaregeln halten und habe diesbezüglich noch eine Frage zu der Herleitung dieser Regeln: - je höher die Sigmaregel ist (also zB >3), desto genauer kann man das Ergebnis sagen. Wie kommt man denn nun bei den einzelnen Regeln auf die Wahrscheinlichkeiten (sigma=1 -> 0,68 \| sigma=2 -> 0,955 \| usw.) - wie kann ich die Herleitung dieser Regel erläutern? Wäre euch dankbar für jede Hilfe Christof
26.06.2005, 11:36	DGU	Auf diesen Beitrag antworten »
die regeln kommen von der Normalverteilung bei der Normalverteilung gilt, dass zB 95,5% der Werte in einem 2-Sigma-Intervall um µ liegen
26.06.2005, 12:51	Wundsalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versteh nicht so recht, warum die gesuchten Werte eben in diesen gewählten Grenzen drin sind.. Warum also z.B. 68% (bei der ersten Regel) der Ergebnise in dem Intervall [µ-sigma;µ+sigma] liegen.
26.06.2005, 13:31	DGU	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist einfach eine Eigenschaft der Gauss-Glocke (der Funktion, durch die die Normalverteilung beschrieben wird)
26.06.2005, 13:43	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Um einmal ein Rechenbeispiel anzuführen: $\begin{eqnarray} \Phi(z)=\int_{-\infty}^z~\phi(x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} \phi(x) \end{eqnarray}$ die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist. Daher $\begin{eqnarray} P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)&=&P(-1\leq X \leq 1)=\Phi(1)-\Phi(-1)=\Phi(1)-(1-\Phi(1))\\&=&2\Phi(1)-1\approx2\cdot 0.8413 - 1 = 0.6826 \end{eqnarray}$ , wobei man jede normalverteilte Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X'=\frac{X-\mu}{\sigma} \end{eqnarray}$ überführen kann.
26.06.2005, 14:41	Wundsalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
danke schonmal für die Antworten! Leider ist mir dieses Beispiel mit der Dichtefunktion nicht so einsichtig..gibt es dafür vielleicht noch ein simpleres Beispiel?
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26.06.2005, 14:53	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Wohl eher nicht. Ich zeige dir mal, welche Flächen ich da berechnet habe.

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