unendlich viele Primzahlen |
| 26.06.2005, 11:04 | Riemann | Auf diesen Beitrag antworten » |
| unendlich viele Primzahlen kann mir jemand sagen, wie ich beweisen kann, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die kongruent zu 7 mod 12 sind? (Als Hinweis habe ich die Methode von Euklid bekommen, aber ich weiß nicht ob das hilft.) Dankeschön! |
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| 26.06.2005, 12:29 | davethekilla | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: unendlich viele Primzahlen Weiß nicht ob dir das weiterhilft: mit a bissl googlen gefunden: Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt. Dies ist identisch mit der Aussage, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dieser Satz geht auf den griechischen Mathematiker Euklid zurück, der um 300 v. Chr. in Alexandria lebte. In seinem Werk die "Elemente" schreibt er im Buch IX: "Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen." Sein Beweis, der oft als "schön" oder "elegant" bezeichnet wird, beruht auf einer einfachen Widerspruchsüberlegung: Angenommen, es gäbe nur endlich viele (insgesamt N) unterschiedliche Primzahlen P1, P2, ... PN. Das Produkt dieser Primzahlen sei Z. :Z = P1 × P2 × ... × PN Die Zahl (Z + 1) ist dann durch keine der Primzahlen teilbar, da jede Division einen Rest von 1 liefert. Jede nicht-Primzahl > 1 lässt sich aber durch eine Primzahl teilen: also ist (Z + 1) selbst eine Primzahl oder enthält zumindest bisher nicht aufgeführte Primfaktoren. Diese Primzahl Z + 1 bzw. die neuen Primfaktoren sind aber verschieden von den Primzahlen P1, P2, ... PN. Da angenommen wurde, dies seien alle Primzahlen, ergibt sich ein Widerspruch. Die Annahme, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, ist also unhaltbar. Beispiele *Angenommen, 2, 3, 5, 7 und 11 sind die einzigen Primzahlen. Dann berechnet man Z+1 = 2*3*5*7*11 + 1 = 2311. 2311 ist eine weitere Primzahl. *Angenommen, 2, 3, 5, 7, 11 und 13 sind die einzigen Primzahlen. Dann berechnet man Z+1 = 2*3*5*7*11*13 + 1 = 30031 = 59*509. 59 ist eine weitere Primzahl. Hier sieht man auch, dass Z+1 nicht immer selbst eine Primzahl sein muss. *Angenommen, 2, 5 und 11 sind die einzigen Primzahlen. Dann berechnet man Z+1 = 2*5*11 + 1 = 111 = 3*37. 3 ist eine weitere Primzahl, die nicht größer als die angenommenen Primzahlen ist. *Angenommen, 23 und 89 sind die einzigen Primzahlen. Dann berechnet man Z+1 = 23*89 + 1 = 2048 = 2^12. 2 ist eine weitere Primzahl, die sogar kleiner ist, als beide angenommenen Primzahlen. Es ist eine offene Frage, ob das Produkt der ersten n Primzahlen mit dem Bildungsgesetz für Z+1 unendlich viele Primzahlen oder unendlich viele zusammengesetzte Zahlen ergibt. |
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| 26.06.2005, 12:58 | Riemann | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: unendlich viele Primzahlen Hallo, ja den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, kannte ich schon. Aber ich soll ja zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die (alle) kongruent zu 7 mod 12 sind. |
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| 26.06.2005, 13:12 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Aufgabenstellung ist ja äquivalent dazu, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 12k+7 gibt. Da ggT(12, 7)=1 ist die Behauptung mit dem Satz von Dirichlet bewiesen. Alternativ mit der Methode von Euklid: Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen . Bilde nun das Produkt P dieser Primzahlen und betrachte 12P+7 modulo 12. EDIT1+2: Latex Gruß, therisen |
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