Bruchzahlen - Äquivalenzrelation

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Nele504 Auf diesen Beitrag antworten »
Bruchzahlen - Äquivalenzrelation
Hallo, ich habe Schwierigkeiten mit folgender Aufgabe:

B steht für Bruchzahlen:

B:={[(a1, a2)] / a1, a2 Element N } mit der Relation ~ :

(a1, a2) ~ (b1, b2) : <==> a1 b2 = a2 b1

Weisen Sie nach, das ~ eine Äquivalenzrelation ist, d.h. dass sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Ich weiß, dass allgemein reflexiv: a = a

symmetrisch: wenn a=b dann b=a

und transitiv: wenn a=b und b=c, dann a=c

Allerdings habe ich Schwierigkeiten das auf die Aufgabe zu beziehen. Vielleicht kann mir jemand einen Tip geben oder mir irgendwie weiterhelfen? Was wäre denn mein "a" bzw. mein "b"? Wäre echt sehr sehr dankbar, wenn mir jemand helfen kann!

Liebe Grüße, Wink
Nele
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hallo nele:

Zitat:
symmetrisch: wenn a=b dann b=a

und transitiv: wenn a=b und b=c, dann a=c

GLEICH??? du meinst: symmetrie: wenn a~b, dann b~a

nun ja, dein a ist hier sowas: (a1,a2), dein b sowas: (b1,b2)

wo ist das problem?
Nele504 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ja, ich meinte ~

War in Gedanken wohl noch bei einer anderen Aufgabe. Vielen Dank erstmal! Tanzen

Lg, Nele
Nele504 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich habe mal gerechnet, bin aber irgendwie absolut nicht sicher, ob das so stimmen kann.

Die Relation lautete: (a1, a2) ~ (b1,b2): <==> a1 b2 = a2 b1

Überprüfe auf Reflexivität a ~ a :
(a1, a2) ~ (a1, a2)

daraus folgt: a1 b2 = a1 b2 gilt aufgrund des Kommutativgesetztes.


Überprüfe auf Symmetrie ( wenn a~b, dann b~a) :
wenn (a1, a2) ~ (b1, b2), dann (b1, b2) ~ (a1,a2)

daraus folgt, wenn a1 b2 =a2 b1, dann a2 b1 = a1 b2

Das gilt ebenfalls aufgrund des Kommutativgesetzes.


Überprüfe auf Transitivität (wenn a~b und b~c, dann a~c):
wenn (a1, a2) ~ (b1, b2) und (b1, b2) ~ (c1, c2)
dann (a1, a2) ~ (c1, c2)

daraus folgt:
wenn a1 b2 = a2 b1 und a2 b1= c1 c2
dann a1 b2 = c1 c2

das gilt weil:
a1 b2 + a2 b1 = a2 b1 + c1 c2

=> a1 b2 + a2 b1 - a2 b1 = c1 c2
=> a1 b2 = c1 c2

Daraus folgt (a1, a2) ~ (c1, c2)

Irgendwie kommt mir das trotzdem alles komisch vor. verwirrt ...Bin mir absolut nicht sicher ob das so richtig ist. Vielleicht kann mir da noch mal jemand helfen? Wäre lieb. ...Danke schon mal!

LG, Nele
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Überprüfe auf Reflexivität a ~ a :
(a1, a2) ~ (a1, a2)

daraus folgt: a1 b2 = a1 b2 gilt aufgrund des Kommutativgesetztes.

daraus folgt hat da schon mal gar nix verloren...
du musst ja eben zeigen, dass für alle a=(a1,a2) eben a~a gilt.
dafür einfach a1, a2 in dei relationsbedingung einsetzen und prüfen, ob es gilt...

edit: insbesondere b2 hat hier nxi verloren, was ist b2?
Nele504 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, ich dachte, weil doch die Relation so definiert war:


(a1, a2) ~ (b1,b2): <==> a1 b2 = a2 b1

deshalb bin ich von a1 b2 ausgegangen. verwirrt


...d.h. also für a~a

(a1, a2) ~ (a1, a2) <==> a1 a2 = a2 a1

und das gilt aufgrund des Kommutativgesetzes?!
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das ist doch schon besser einfach a und a einsetzen und schauen, ob die relationsbedingung erfüllt ist

und da a1a2=a1a2 ist gilt (a1,a2)~(a1,a2).

ganz klar.



jetzt annehmen: (a1,a2)~(b1,b2) => ....... und dann: => (b1,b2)~(a1,a2) zeigen für dei symmetrie
Nele504 Auf diesen Beitrag antworten »

(a1,a2)~(b1,b2) => ....... und dann: => (b1,b2)~(a1,a2) zeigen für dei

Also:
(a1,a2)~(b1,b2) => a1 b2 = a2 b1

und (b1,b2)~(a1,a2) => b1 a2 = b2 a1

und da a1 b2 = b2 a1 und a2 b1 = b1 a2 aufgrund des Kommutativgesetzes gilt, ist die Symmetrie damit auch bewiesen.
Nele504 Auf diesen Beitrag antworten »

und für die Transitivität
(wenn a~b und b~c, dann a~c):

wenn (a1, a2) ~ (b1, b2) und (b1, b2) ~ (c1, c2)
dann (a1, a2) ~ (c1, c2)


Also (a1, a2) ~ (b1, b2) => a1 b2 = a2 b1

und (b1, b2) ~ (c1, c2) => b1 c2 = b2 c1

dann (a1, a2) ~ (c1, c2) => a1 c2 = a2 c1

....aber wie beweis ich das?

mit a1 b2 + b1 c2 = a2 b1 + b2 c1 ???
Nele504 Auf diesen Beitrag antworten »

aber das geht auch irgendwie nicht.... verwirrt
Nele504 Auf diesen Beitrag antworten »

niemand da, der mir sagen kann, ob ich nun irgendwie richtig liege? wie ich das aber beweisen soll, weiß ich immer noch nicht so recht.... verwirrt

Hilfe Hilfe
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du sollst nicht von vornherein von der symmetrie, trnasitivität ausgehen!

für die symmetrie: nimm nur a~b an und FOLGERE daraus b~a
du nimmst a und b und sagst: a~b und b~a
das musst du am ende zu einer folgenrungskette machen

dann wird auch die transitivität leicht; nimm a~b und b~c als gegeben
folgere DARAUS a~c
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

@Nele
Unterlasse bitte solche Pushpostings! Das ist ein deutlicher Verstoss des Userguides!!!


Es wird sich schon bei Zeiten jemand hier äußern.
Etwas Gedult ist ja wohl noch zu erwarten, oder sehe ich das falsch.



Gruss
mercany


/edit: Siehst, Jochen ist schon so freundlich!
Nele504 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Infos, jetzt komme ich klar! Danke noch mal. Tanzen

Und sorry, für diesen Satz oder die Aussage....so war das nicht gemeint. Hab da gar nicht drüber nachgedacht. ... nächstes Mal werd ich erst denken, dann schreiben...(das ist manchmal meine Schwäche), also sorry nochmal.

Einen schönen Abend noch!
Lg, Nele
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