Einfache Anfangsaufgabe zur Integralrechnung gesucht

28.06.2005, 13:37

mercany

Einfache Anfangsaufgabe zur Integralrechnung gesucht

Hi,

ich suche ein par einfache Anfangsaufgaben zur Integralrechnung.
Sollten wirklich keine schweren sein, will erstmal das Prinzip verstehen.

Hat da wer vielleicht ein par für mich?

MfG, mercany

28.06.2005, 13:51

therisen

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$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$

Bestimme F(x) mit F'(x)=f(x).

Ansonsten google doch mal im Internet...

Gruß, therisen

28.06.2005, 13:55

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} f(x)&=&x^n+b\\f(x)&=&(x-m)^n+b\\f(x)&=&k(x-m)^n+b \end{eqnarray*}$

28.06.2005, 14:08

mercany

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hmm, irgendwie kapier ich grad null!

ich hab momentan keinen blassen schimmer, wie ich auf die stammfunktion von deinen bsp. kommen sollte, therisen. verwirrt

gibts du mir mal nen ganz kleinen ruck, bitte....

Gruß
mercany

28.06.2005, 14:11

therisen

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Naja, abgeleitet soll $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ rauskommen. Dann brauchst du also auf jeden Fall mal ein $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ in deiner Stammfunktion, denn beim Differenzieren wird der Grad des Exponenten um eins verringert. Dann hast du aber auch noch eine 3 vor dem x^2 stehen (Exponent vorziehen)... Wie kannst du nun diese wegbekommen? Na, schreib doch einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ vor das x^3. Damit hast du dann: $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

28.06.2005, 14:16

derkoch

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$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

Bestimme F(x) mit F'(x)=f(x).

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) =\int_{}^{}~F'(x)~dx =\int_{}^{}~(fx)~dx \end{eqnarray*}$

28.06.2005, 14:28

mercany

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Okey, dann hätte ich für deine Aufgaben folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int ~x^2~dx = \frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int ~x^3~dx = \frac{1}{4}x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int ~x^n~dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} \end{eqnarray*}$

Gruß
mercany

28.06.2005, 14:30

derkoch

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paßt alles!

28.06.2005, 14:37

mercany

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okey, dann mach ich mich nachher mal auf die aufgaben von sqrt.

falls ich probleme hab, melde ich mich nochmal!

schonmal besten dank!
jan

28.06.2005, 15:13

mercany

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Okey, dann fang ich mal an:

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&x^n+b \end{eqnarray*}$

Da hab ich dann:

$\begin{eqnarray*} \int~ (x^n + bx)~dx &=& \frac{1}{n+1}x^{n+1} + bx \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} f(x)&=&(x-m)^n+b \end{eqnarray*}$ bin ich mir jetzt allerdings nicht so richtig sicher.

Muss ich da irgendetwas substituieren oder so, weil das sieht mir sehr nach Kettenregel aus verwirrt

Gruß, mercany

/edit: Ich glaub ich hab doch eine Idee.... ich probiers mal grad aus!

/edit2: Ich würde jetzt auf folgendes kommen:

$\begin{eqnarray*} \int~ (x-m)^n + b~ dx &=& \frac{1}{n+1}\cdot(\frac{1}{2}x^2 - mx)^{n+1} + bx \end{eqnarray*}$

Kann das passen?

28.06.2005, 15:32

sqrt(2)

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Zitat:

Original von mercany
Da hab ich dann:

$\begin{eqnarray*} \int~ (x^n + bx)~dx &=& \frac{1}{n+1}x^{n+1} + bx \end{eqnarray*}$

Ein x zu viel, aber das dürfte ein Tippfehler sein. Sonst ist es richtig. Du kannst hier die Summenregel

$\begin{eqnarray*} \int~(f(x)+g(x))~dx = \int~f(x)~dx + \int~g(x)~dx \end{eqnarray*}$

erkennen.

Zitat:

Original von mercany
Bei $\begin{eqnarray*} f(x)&=&(x-m)^n+b \end{eqnarray*}$ bin ich mir jetzt allerdings nicht so richtig sicher.

Muss ich da irgendetwas substituieren oder so, weil das sieht mir sehr nach Kettenregel aus verwirrt

Die Idee ist ziemlich gut...

28.06.2005, 16:09

mercany

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Die Idee ist ziemlich gut...

Und was sagst du zu meiner Ausführung?

Zitat:

Original von mercany
/edit2: Ich würde jetzt auf folgendes kommen:

$\begin{eqnarray*} \int~ (x-m)^n + b~ dx &=& \frac{1}{n+1}\cdot(\frac{1}{2}x^2 - mx)^{n+1} + bx \end{eqnarray*}$

Kann das passen?

Gruß, mercany

28.06.2005, 16:16

sqrt(2)

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Zitat:

Original von mercany

Zitat:

Original von sqrt(2)
Die Idee ist ziemlich gut...

Und was sagst du zu meiner Ausführung?

Nicht ganz so gut...

Leite das mal ab und du erhältst

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left(x-m\right)\left(\frac{1}{2}x^2-mx\right)+b \end{eqnarray*}$

Das ist nicht ganz, das, was da am Anfang war...

Die Kettenregel lautet

$\begin{eqnarray*} f'(g(x))=g'(x)\cdot f'(g(x)) \end{eqnarray*}$ .

Mit

$\begin{eqnarray*} g(x)=x-m \end{eqnarray*}$

siehst du, dass der Ausdruck in der der Klammer gleiche bleiben muss.

28.06.2005, 16:39

mercany

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hmm....

aber so $\begin{eqnarray*} \int~ (x-m)^n + b~ dx &=& \frac{1}{n+1}\cdot(x - m)^{n+1} + bx \end{eqnarray*}$ kann es doch auch nicht stimmen verwirrt

28.06.2005, 16:53

sqrt(2)

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Doch, leite dein Ergebnis einmal ab und du erhältst die ursprüngliche Funktion.

28.06.2005, 17:02

mercany

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vielleicht hab ich da jetzt einen denkfehler, aber wenn ich g(x) ableite, dann müsste es doch =0 ergeben. weil ich hab doch zwei konstanten gegeben ?

28.06.2005, 17:04

derkoch

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nee! ergibt 1! leitest ja nach x ab! dann ist nur -m konstante!

28.06.2005, 17:11

mercany

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Och nö!!! Stimmt ja Hammer

Okey, dann ist das jetzt klar. Danke koch smile

Dann will ich mich mal an die nächste begeben...

Gruß
mercany

28.06.2005, 17:19

mercany

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Also:

$\begin{eqnarray*} \int~k(x-m)^n+b~dx &=& \frac{1}{n+1}\cdot k \cdot (x-m)^{n+1} + bx \end{eqnarray*}$

28.06.2005, 18:29

therisen

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Ja, passt.

28.06.2005, 18:52

sqrt(2)

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Und damit hättest du die Konstantenregel:

$\begin{eqnarray*} \int~k\cdot f(x)~dx = k\int~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

28.06.2005, 19:32

mercany

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Schön

Hat wer noch ein par Aufgaben für mich?

Gruß
mercany

28.06.2005, 19:38

DerEierMann

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~sin(ax+c)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~cos(ax+c)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~tan(x)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^{ax}~dx \end{eqnarray*}$

28.06.2005, 20:00

mercany

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Kurze Frage hierzu:

Sind sin, cos und tan hier als Konstanten zu betrachten?

/edit: Oder sind das hier Ableitungen?

28.06.2005, 20:09

derkoch

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Zitat:

Original von mercany
Kurze Frage hierzu:

Sind sin, cos und tan hier als Konstanten zu betrachten?

/edit: Oder sind das hier Ableitungen?

nee die konstanten hier sind a und c!
die anderen sachen sind trigonometrische funktionen, außer e^.. natürlich!

28.06.2005, 20:17

mercany

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~sin(ax+c)~dx &=& -cos(ax+c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~cos(ax+c)~dx &=& sin(ax+c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~tan(x)~dx &=& -ln|cos(x)| \end{eqnarray*}$

28.06.2005, 20:26

sqrt(2)

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Bei den ersten beiden hast du was vergessen. Was ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x)=ax+c \end{eqnarray*}$ ?
Die dritte ist richtig.

28.06.2005, 20:40

mercany

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irgendwie macht mir das $\begin{eqnarray*} ax \end{eqnarray*}$ Schwierigkeiten unglücklich

28.06.2005, 20:44

therisen

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Leite doch einfach mal $\begin{eqnarray*} h(x)=-cos(ax+c) \end{eqnarray*}$ ab (Kettenregel). Was stört also?

Gruß, therisen

28.06.2005, 20:50

mercany

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naja, abgleitet würde das doch ergeben h'(x)= sin * a

also würde das a stören.... was ich ja eben schon sagte, dass mir das probleme macht!

28.06.2005, 20:53

sqrt(2)

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Dann setz doch einfach den konstanten Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ davor. Konstantenregel...

28.06.2005, 21:13

mercany

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Dann hab ich jetzt mal folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} \int~sin(ax+c)~dx &=& -cos \cdot \frac{1}{2}(\frac{1}{a}ax+c)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das ableite komme ich allerdings auf $\begin{eqnarray*} f'(x) = sin(\frac{a}{a}x+c) \end{eqnarray*}$ unglücklich

Wo liegt mein Gedankenfehler verwirrt

Gruß, mercany

28.06.2005, 21:19

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} f(x) &=& -\cos(ax + c)\\\Rightarrow f'(x)&=&a\sin(ax + c) \end{eqnarray*}$

Wo muss der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ also hin?

28.06.2005, 21:19

therisen

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Mensch Mercany, wir haben dir die Lösung doch bereits verraten:

$\begin{eqnarray*} \int sin(ax+c)~dx &=&- \frac{1}{a}cos(ax+c) \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

28.06.2005, 22:02

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid therisen, aber ich habs irgendwie echt nicht gerallt! unglücklich

Naja, jetzt ist es auf jeden Fall klar.
Die Aufgabe müssten dann wohl so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~sin(ax+c)~dx &=& - \frac{1}{a}cos(ax+c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~cos(ax+c)~dx &=& \frac{1}{a}sin(ax+c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~tan(x)~dx &=& -ln|cos(x)| \end{eqnarray*}$

Gruß
mercany

28.06.2005, 22:23

derkoch

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ich weiß nicht wie du an die aufgaben ran gegangen bist aber so kannst du es auch machen:

$\begin{eqnarray*} \int sin(ax+c)~dx \end{eqnarray*}$

subtitution: $\begin{eqnarray*} u = ax+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'= a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du = a\cdot dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \int sin(u)~du=-\frac{1}{a}cos(u) \end{eqnarray*}$

da du jetzt im integral ein a "hinzugefügt" hast mußt du es wieder " ausgleichen"! das machst du indem du vor das integral den kehrwert hinschreibst, weil wenn du das a dann wieder vors integral ziehen würdest dann hebt es sich wieder auf!
hoffe du verstehst was ich meine

jetzt nur noch rücksubstituieren und du hast das ergebnis!

29.06.2005, 00:13

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, soweit ist mercany wohl kaum, dass er die Integration durch Substitution kennt, wenn er gerade mehr oder weniger seine ersten Funktionen integriert hat...

Also, ich versuche mich jetzt mal als Pädagoge (was eigentlich nur schief gehen kann, aber mal sehen...)

Die Kettenregel lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x) &=& g(h(x)) \\f'(x)&=&h'(x)\cdot g'(h(x)) \end{eqnarray*}$

Wir können also ein Intgral der folgenden Form leicht berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int~h'(x)\cdot g'(h(x))~dx = g(h(x)) \end{eqnarray*}$

Das ist sehr nützlich, wenn uns der Term $\begin{eqnarray*} h'(x) \end{eqnarray*}$ beim Integrieren stört. Betrachte mal das Integral

$\begin{eqnarray*} \int~-2x\cdot e^{-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} h'(x) = -2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(h(x))=e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ lässt sich das Integral leicht berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int~-2x\cdot e^{-x^2}~dx = e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

Wir analysieren das Verfahren noch einmal genauer: Um obiges Integral zu berechnen führen wir diesmal eine Substitution durch:

$\begin{eqnarray*} u := -x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~-2x\cdot e^{-x^2}~dx = \int~-2x\cdot e^u~dx \end{eqnarray*}$

Ziel ist es, jetzt nach u und nicht mehr nach x zu integrieren.

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} &=& -2x\\\mathrm{d}x &=& \frac{\mathrm{d}u}{-2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \end{eqnarray*}$ steht hierbei für die Ableitung von u nach x.

$\begin{eqnarray*} \int~-2x\cdot e^u~dx&=&\int~-2x\cdot e^u~\frac{\mathrm{d}u}{-2x}\\&=&\int~e^u~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~e^u~du &=& e^u\\&=& e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

Du hast hiermit also ein systematisches Verfahren, das nicht nur auf dem Augenmaß basiert (wie wir das mit dem gleichen Integral oben in einem Schritt gemacht haben). Dieses Verfahren kannst du oft verwenden, um lästige Vorfaktoren zu entfernen, oder, wie es derkoch gemacht hat, um lästige innere Funktionen zeitweise beiseite zu schaffen.

29.06.2005, 00:26

derkoch

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axo!

sorry hatte das nicht bedacht!

29.06.2005, 15:40

mercany

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ja, prinzipiell hab ich eigentlich sehr gut verstanden, was du da gemacht hast sqrt.
Etwas unverständlich ist für mich noch, was du da unten mit dx/du machst... weil mit dieser Schreibweise hab ich mich vorher noch nicht beschäftigt gehabt.

was die erklärung von koch betrifft, das versteh ich eher nicht so recht!
wenn du mir da nochmal genau die einzelnen schritte näher erläutern könntest, dann wäre das sehr hilfreich für mich.

LG, mercany

29.06.2005, 15:56

sqrt(2)

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Zitat:

Original von mercany
ja, prinzipiell hab ich eigentlich sehr gut verstanden, was du da gemacht hast sqrt.
Etwas unverständlich ist für mich noch, was du da unten mit dx/du machst... weil mit dieser Schreibweise hab ich mich vorher noch nicht beschäftigt gehabt.

Wie gesagt, es wird die Ableitung von u gebildet und dann nach dx umgeformt, damit man Einsetzen kann. Präge dir die Schreibweise so ein, eine andere Möglichkeit sehe ich da nicht.

Zitat:

Original von mercany
was die erklärung von koch betrifft, das versteh ich eher nicht so recht!
wenn du mir da nochmal genau die einzelnen schritte näher erläutern könntest, dann wäre das sehr hilfreich für mich.

Er verwendet auch das Substutionsverfahren, um

$\begin{eqnarray*} \int~\sin(ax + c)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

zu berechnen. Dazu substituiert er

$\begin{eqnarray*} u &:=& ax + c\\\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}&=&a\\\mathrm{d}x&=&\frac{\mathrm{d}u}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~\sin(ax + c)~\mathrm{d}x &=& \int~\sin(u)~\frac{\mathrm{d}u}{a}\\&=& \int~\frac{1}{a}\sin(u)~\mathrm{d}u\\&=&\frac{1}{a}\cos(u)\\&=&\frac{1}{a}\cos(ax + c) \end{eqnarray*}$

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