Untersuchung einer Funktionenschar

28.06.2005, 17:03

Lazarus

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Untersuchung einer Funktionenschar

Gegeben sei eine Funktionenschar $\begin{eqnarray*} fk(x) = x^3 - 3x^2 - 3kx ; x,k \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
a) untersuchen sie die funktionen der schar hinsichtlich der nullstellen und ihrer art, Fallunterscheidung !

b) untersuchen sie die funktionen der schar hinsichtlich Extremstellen und ihrer art. Falluntetrscheidung !

c) Untersuchen sie die funktion der schar auf wendestellen. was fällt dabei auf ? geben sie an, auf welcher kurve C die wendepunkte der scharfunktionen liegen.

des ist die aufgabe, und ich bin mir ned ganz sicher ob ich die richtig hab( besonders c) )

mein ansatz:

a) erstmal x ausklammern:
$\begin{eqnarray*} fk(x)=x(x^2-3x-3k) \end{eqnarray*}$
daraus folgt:
x1 = o ; einfach
x2,3 sind die lösungen der quadratischen gleichung in der klammer.
$\begin{eqnarray*} \frac{3 \pm \sqrt{9+12k} }{2} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} k< - \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ keine weiteren reellen nullstellen
für $\begin{eqnarray*} k = - \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ eine doppelte Nullstelle bei x=1,5
für $\begin{eqnarray*} k > - \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ zwei einfache nullstellen x2 und x3

b)ableiten:
$\begin{eqnarray*} f'k(x)=3x^2-6x-3k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''k(x)=6x-6 \end{eqnarray*}$

nullstellen sind ja wohlauch recht flott bestimmt:
$\begin{eqnarray*} \frac{6 \pm \sqrt{36+36k} }{6} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} k< - 1 \end{eqnarray*}$ keine extrema
für $\begin{eqnarray*} k = -1 \end{eqnarray*}$ doppelte nullstelle der 1sten ableitung bei 1
für $\begin{eqnarray*} k> - 1 \end{eqnarray*}$ zwei einfach nullstellen der 1sten ableitung:

f''(1) = 0 => kein extrempunkt hier, siehe wendepunkte
f''(x) > 0 für x > 1 => Minimum
f''(x) < 0 für x < 1 => Maximum

c) $\begin{eqnarray*} f'''k(x)=6 \neq 0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} f''(1) = 0 /\ f'''(1) \neq 0 \end{eqnarray*}$

wp bei x=1 für k = -1

mhh .. ok etz hab ich schon selbst meinen ersten fehler gefunden, denn nun hab ich was anderes raus als heute bei der schulaufgabe, zumindest bei der c) unglücklich

unglücklich

da hab ich dann auchnoch den go von bestimmt, davon ned.

bei a und b bitte nachkontrollieren, c bitte hilfestellung geben Augenzwinkern

Augenzwinkern

servus
//korrigiert

28.06.2005, 17:31

derkoch

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RE: Untersuchung einer Funktionenschar
edit: fehler von threadstarter verbessert!

28.06.2005, 17:32

Lazarus

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ne, hab mich verschrieben in der ausgangsgleichung... danke, habs korrigiert.

28.06.2005, 17:34

brunsi

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RE: Untersuchung einer Funktionenschar
prüfe noch mal diese ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'k(x)=3x^2-6x-3k \end{eqnarray*}$ vergleiche die mit deiner Ausgangsfunktion und du wirst feststellen, das dort ein fehler ist.

edit: ok, habs erst jetzt gesehen, kannst das von mir vergessen, dann ist es jetzt nach deiner korrektur richtig.

edit2:

die extremwertbestimmung:

$\begin{eqnarray*} x_1,2=1\pm\sqrt{1+k} \end{eqnarray*}$

edit3: hast du die Mitternachstformel richtig angewendet? es müsste ja das gleiche wie bei der p-q-Formel raus kommen. kontrolliere das doch noch mal.

edit: fehler bei der p-q-formel verbessert.

28.06.2005, 22:38

Lazarus

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also ich fühle mich so als hätte ich die lösungformel richtig angewendet ..

wie kommst du auf dein ergebniss ?

bin für diskussionen offen Augenzwinkern

Augenzwinkern

servus

28.06.2005, 22:47

derkoch

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Zitat:

die extremwertbestimmung: $\begin{eqnarray*} x_1,2=2\pm\sqrt{4+k} \end{eqnarray*}$

brunsi aufpassen ist auch nicht richtig hier!!!!!

du mußt zuerst dirch 3 teilen!!!1

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=1\pm\sqrt{1+k} \end{eqnarray*}$

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28.06.2005, 22:57

Lazarus

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@ koch :
naja also durch drei teilen is ja ned ganz richtig ...

ausserdem kommt dann auch des gleiche raus, hab mir auch überlegt ob ich bei der ersten ableitung 3 ausklammern soll, (was dann zur folge hätte das es ausschauen würde wie bei dir) aber was mir dann egal ..

so isses zwar weng offensichtlicher, aber des ergebniss is des gleiche ..

28.06.2005, 23:08

derkoch

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ich sag es ungern!
aber wenn man die pq formel anwenden will, dann muß man den term erstmal auf normalform bringen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.06.2005, 23:22

Lazarus

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nein !
es reicht die form $\begin{eqnarray*} f(x) = ax^2+bx+c ;a,b,c,x \in \mathbb R ; a \neq 0 \end{eqnarray*}$ völlig aus!

die lösungformel lautet schliesslich $\begin{eqnarray*} x1,2 = \frac{1}{2a}*(-b \pm \sqrt{b^2 + 4*a*c} \end{eqnarray*}$

was du gemacht hast ist lediglich den faktor a vor dem qaudratischen glied auf 1 zurecht zu stutzen ... bringt nur soviel das du kleinere zahlen hast.

warum sonst sollte in der lösungsformel a auftauchen wenn des immer 1 sein muss ??

Augenzwinkern

Augenzwinkern

servus

28.06.2005, 23:24

derkoch

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na wenn du es sagst!

28.06.2005, 23:25

Lazarus

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probiers aus, kommt des gleiche raus...

kannst auch in der ableitung die 3 ausklammern und dann die lösungformel anwenden, dann kommste auf genau des was du hast.

28.06.2005, 23:32

Ben Sisko

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Die pq-Formelist eine Lösungsformel für normierte quadratische Gleichungen und entspricht für a=1 der Mitternachtsformel bzw. abc-Formel, Lösungsformel für beliebige quadratische Gleichungen.

Gruß vom Ben

29.06.2005, 00:03

Lazarus

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ay ay captain Augenzwinkern

Augenzwinkern

reicht doch wenn wir festgestellt haben das eh des gleiche rauskommt ..

könnte mir trozdem bitte jemand bei der schar helfen ?!?

da das problem der lösungen der extrempunkte nun ausgiebig durchgelutscht wurde, was heisst das nun konkret für die schar ..

ich bin mir besonders in der wendepunkt sache ned so ganz sicher !

servus

29.06.2005, 00:45

derkoch

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bei a und b sehe ich auf anhieb keine fehler! ich würde sagen dei sind oki! aber zur späten stunde keine gaarantie!

zu c) was dir auf ? welche bedingung muß vorliegen damit ein wendepunkt exitiert!
frage hängt die bedingung noch von k ab? schau dir den graphen an!
ich hab s für verschiedene ks zeichnen lassen sowohl positive als auch negative!

wo liegen alle wendepunkte!?

29.06.2005, 08:51

brunsi

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@derkoch: ich nutze noch mal eben die gelegenheit um zu sagen, dass ich mcih tatsächlich beim radikanten vertan habe, es muss 1 anstatt 4 lauten. werde das noch eben verbessern.

edit: @Lazarus: wie kommst du denn auf k=-1???

die x-Koordinate deines Wendepunktes ist frei vom Parameter k. die y-Koordinate hingegen ist, wenn du sie in die Ausgangsfunktion einsetzt nihct frei von k

$\begin{eqnarray*} f(x)_k=x^3-3x^2-3kx \end{eqnarray*}$

x=1 eingesetzt, liefert:

$\begin{eqnarray*} f(x=1)_k=1^3-3*1^2-3k*1=-2-3k \end{eqnarray*}$

29.06.2005, 11:25

Lazarus

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ahhh!
erstmal *froi* denn genau das hab ich in der schulaufgabe hingeschrieben.

allerdings frag ich mich was ich da oben hab ?!?!
warum ich auf k =-1 komm weiss ich ned @ brunsi ..

ich war gestern ziemlich ausgelaugt, deshalb evtl. ^^

habs mir etz nochmal angeschaut und bin zu dem schluss gekommen, dass alle wendepunkte auf einer zur x-achse senkrechten geraden bei x=1 liegen.
der y-wert ist, wie brunsi richtig geschrieben hat durch -2-3k bestimmt.

ok, danke allen die sich da gedanken gemacht haben Augenzwinkern

Augenzwinkern

ciao

29.06.2005, 11:30

derkoch

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Zitat:

habs mir etz nochmal angeschaut und bin zu dem schluss gekommen, dass alle wendepunkte auf einer zur x-achse senkrechten geraden bei x=1 liegen.

Freude

du hast ja bei der 2. ableitung $\begin{eqnarray*} f''(x)= 6x-6=0 \end{eqnarray*}$

für x = 1

3. ableitung $\begin{eqnarray*} f'''(x) =6 \end{eqnarray*}$ hängt ja überhaupt nicht mehr von k ab! also liegen alle wendepnktu der schar auf der senkrechten x= 1!

29.06.2005, 11:34

Lazarus

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danke dir !
Tanzen

Tanzen

29.06.2005, 12:07

brunsi

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bitte schön. @derkoch: das hast du schön geschrieben Freude

Freude

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