Extremweraufgabe -- bitte helft mir

29.06.2005, 10:50

MartinG

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Extremweraufgabe -- bitte helft mir

Habe ein Problem:

Aufgabe:

Gegeben sind die Kurven K1 und K2 mit

$\begin{eqnarray*} K1:f(x)=-\frac{1}{32} x^{3}+\frac{3}{2}x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K2:g(x)=-\frac{1}{2} x^{2} + \frac{7}{2}x \end{eqnarray*}$

Die Gerade $\begin{eqnarray*} x = u \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq u\leq 7 \end{eqnarray*}$ schneidet K1 in P und K2 in Q.

Für welches u wird die Fläche des Dreiecks OPQ maximal? Hilfe

Hilfe

Wie gehe ich an die Aufgabe ran? verwirrt

verwirrt

29.06.2005, 10:58

Gast007

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Ich würde zunächst vorschlagen, dass man sich eine Skizze macht. Damit hat man eine Vorstellung von seinem Problem, um es anschließend mathematisieren zu können. Das wäre meine erste Empfehlung..

Werde die Aufgabe eventuell mal selbst durchrechnen, aber meine Empfehlung ist immer, dass man sich bei solchen Fragestellungen Skizzen macht, um sich einen Überblick zu verschaffen.

29.06.2005, 11:01

derkoch

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hier hast du schon mal die beiden kurven

29.06.2005, 11:52

MartinG

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Aha...
Wenn ich dann zw. 0 und 7 eine Parallele zur y-Achse einzeichne, dann erhalte ich 2 Schnittpunkte. O.k. so weit

Wie kann ich jetzt die orange Dreiecksfläche errechnen?

29.06.2005, 11:56

sqrt(2)

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Orange plus grüne minus die grüne.

29.06.2005, 11:59

brunsi

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RE: Aha...
du berechnest jeweils den schnittpunkt von gerade x=u und jeweils einem graphen.

also insgesamt die schnittpunkte beider graphen mit der x=u achse.

edit: so ists natürlicha uch ne möglichkeit wie sqrt das beschreibt, aber anders sits halt ein wenig komplizierter. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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29.06.2005, 12:14

MartinG

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Orange plus grüne minus die grüne.

Ich nehme mal an, du meinst so:

$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{2}\cdot u\cdot g(u)-\frac{1}{2}\cdot u\cdot f(u) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{2} \cdot u \cdot [g(u) - f(u)] \end{eqnarray*}$
[...]
$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{64} u^4 - \frac{1}{4} u^3 + u \end{eqnarray*}$

Und jetzt kann ich die Extrempunkte errechnen, oder?

$\begin{eqnarray*} A'(u)=\frac{1}{16} u^3 - \frac{3}{4} u^2 + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A''(u)=\frac{3}{16} u^2 - \frac{3}{2} u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A''(u)=0 \Rightarrow \frac{1}{16} u^3 - \frac{3}{4} u^2 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

GTR Sei dank:

$\begin{eqnarray*} [u1=-1,1] ; u2=1,22 ; [u3=11,89] \end{eqnarray*}$

Also ist das Ergebnis u = 1,22 LE

29.06.2005, 12:21

brunsi

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ich frag mich bloß, ob das geht?? verwirrt

verwirrt

edit: denn sollst ja nicht die komplette fläche unter dem oberen graphen berechnen sondern nur die organge. da bleibt also oben imme rnoch ein stückchen übrig.

einleuchtend?

29.06.2005, 12:27

MartinG

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Ich glaub, du hast recht. traurig

traurig

Wie kann ich es sonst ausrechnen? Hammer

Hammer

29.06.2005, 12:29

sqrt(2)

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Wieso, stimmt doch alles...

29.06.2005, 12:33

MartinG

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Du glaubst, dass das so stimmt?

Was meint dann brunsi? verwirrt

verwirrt

29.06.2005, 12:36

sqrt(2)

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Ich kann es dir nicht sagen, aber du berechnest die richtige Fläche, die orange nämlich.

29.06.2005, 12:38

MartinG

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Ich dank dir!!!

29.06.2005, 12:48

brunsi

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sehe ich das richtig, dass es sich um die Fläche des Differenzgraphen handelt?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{2}\cdot u\cdot g(u)-\frac{1}{2}\cdot u\cdot f(u) \end{eqnarray*}$

edit1: das was sqrt rein für die flächenberechnung sagt stimmt schon. nur hat er hierbei nicht bedacht, dass um auf die fläche zu kommen du erst einmal die fläche des oberen graphen mit der x-AChse und der senkrechten Achse x=u berechnen musst um anschließend nachher die grüne fläche davon abzuziehen.

Außerdem berechnest du die gesamte fläche, die von dem oberen graphen und der x-Achse und der senkrechten achse x=u eingeschlossen wird.

Im klartext bedeutet es also:

orange+grüne+ das was über der orangen fläche ist.

@sqrt: siehst du nun das problem?

edit2: ich persönlich würde hier ausnahmsweise mal in die analytische geometrie rüber wechseln um die längen des dreiecks bestimmen zu können.

29.06.2005, 13:16

jovi

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@MartinG:
an der Stelle [...] hast du einen kleinen Fehler reingebracht.

$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{2} \cdot u \cdot [g(u) - f(u)] \end{eqnarray*}$
[...]
$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{64} u^4 - \frac{1}{4} u^3 + u \end{eqnarray*}$

29.06.2005, 13:27

sqrt(2)

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Zitat:

Original von brunsi
sehe ich das richtig, dass es sich um die Fläche des Differenzgraphen handelt?

Nein.

Zitat:

Original von brunsi
nur hat er hierbei nicht bedacht, dass um auf die fläche zu kommen du erst einmal die fläche des oberen graphen mit der x-AChse und der senkrechten Achse x=u berechnen musst

Das tut er. Es ist der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}u\cdot g(u) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von brunsi
um anschließend nachher die grüne fläche davon abzuziehen.

Auch das tut er. $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}u\cdot f(u) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von brunsi
Außerdem berechnest du die gesamte fläche, die von dem oberen graphen und der x-Achse und der senkrechten achse x=u eingeschlossen wird.

Nein.

Zitat:

Original von brunsi
@sqrt: siehst du nun das problem?

Nein.

Zitat:

Original von jovi
an der Stelle [...] hast du einen kleinen Fehler reingebracht.

Das allerdings, es fehlt ein Quadrat.

29.06.2005, 13:43

brunsi

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dann beweis mir @sqrt, dass er das nicht tut!!

dann beweis mir @sqrt, dass er das nicht tut!!

legenw ir mal das bild von MArtinG zugrunde.

dort soll die orange Fläche berechnet werden.
Diese befindet sich größtenteils oberhalb des unteren Graphen. jedoch ist da noch ein kleiner Zipfel der zu berechnenden orangen Fläche, dei unterhalb des unteren Graphen liegt.

Da man allgemein die Fläche berechnet, die vom Graphen einer Funktion und der x-Achse in einem bestimmten intervall eingeschlossen wird, so berechnet man die gesamte Fläche, die der obere Graph mit der x-Achse in dem intervall [0;u] einschließt.
auf die zeichnung bezogen auch die fläche, die oberhalb der orangen liegt jedoch noch unterhalb des oberen graphen.

berechnet man nun auch noch die fläche die der untere Graph mit der x-AChse im Intervall [0;u] einschließt, so hat man bereits einen kleinen teil der orangen fläche ausgerechnet.

Um diesen Teil als wert zu erhalten muss man noch die grüne Fläche berechnen und von dem gesamtflächeninhalt der durch den unteren graphen entsteht abgezogen werden.

So um jetzt die orange Fläche auszurechnen, die unterhalb des Oberen Graphen liegt. Muss man den Flächeninhalt berechnen, den der obere graph mit der x-AChse im interval [0;u] einschließt.

Anschließend subtrahiert man dann die Fläche des unteren graphen von der oberen und erhält den Flächeninhalt zwischen dem oberen und dem unteren Graphen wo der größte teil jetzt vond er orangen fläche mit drin ist.

hier jedoch das Problem:

[B]erhält den Flächeninhalt zwischen dem oberen und dem unteren Graphen wo der größte teil jetzt von der orangen fläche mit drin ist.[/B]
Doch wie bekommst du nun den orangen flächeninhalt raus?

29.06.2005, 14:04

sqrt(2)

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Die gesamte Fläche des oberen Graphen mit der x-Achse und x = u ist

$\begin{eqnarray*} \int_0^u~g(x)~dx&=&\int_0^u~\left(-\frac{1}{2}x^2+\frac{7}{2}x\right)~dx\\&=&\left[-\frac{1}{6}x^3+\frac{7}{4}x^2\right]_0^u\\&=&-\frac{1}{6}u^3+\frac{7}{4}u^2\\&\neq&\frac{1}{2}u\cdot g(u) = -\frac{1}{4}u^3+\frac{7}{4}u^2 \end{eqnarray*}$

29.06.2005, 14:16

brunsi

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schau noch mal eben meinen obigen post an. hab da noch was ergänzt, wo ich mir beid er rechnung das problem vorstelle.

29.06.2005, 14:23

MartinG

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Danke, dass der Fehler entdeckt wurde.

$\begin{eqnarray*} A(u) = \frac{1}{64}u^4 - \frac{1}{4} u^3 +u^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(u) = \frac{1}{16}u^3 - \frac{3}{4} u^2 +2u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A''(u) = \frac{3}{16}u^2 - \frac{3}{2} u +2 \end{eqnarray*}$

Erg.:

$\begin{eqnarray*} u1 = 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u2 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u3 = 0 \end{eqnarray*}$

Als Ergebnisse wäre ja jetzt 0 und 4 möglich, oder?

$\begin{eqnarray*} A''(0)=2 \Rightarrow > 0, also Minimum \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A''(4)= -1 \Rightarrow < 0, also Maximum \end{eqnarray*}$

==> Lösung ist: $\begin{eqnarray*} u = 4 \end{eqnarray*}$

@ brunsi:
mit der Formel $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} u\cdot g(u) \end{eqnarray*}$ wird die Dreiecksfläche "orange" und "grün" zusammen berechnet.
Wenn ich dann das grüne Dreieck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} u\cdot f(u) \end{eqnarray*}$ abziehe, bleibt das orange zurück.

29.06.2005, 14:23

sqrt(2)

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Zitat:

Original von brunsi
Da man allgemein die Fläche berechnet, die vom Graphen einer Funktion und der x-Achse in einem bestimmten intervall eingeschlossen wird, so berechnet man die gesamte Fläche, die der obere Graph mit der x-Achse in dem intervall [0;u] einschließt.

Das ist ein ganz anderer Aufgabentyp.

Zitat:

Original von brunsi
[B]erhält den Flächeninhalt zwischen dem oberen und dem unteren Graphen wo der größte teil jetzt von der orangen fläche mit drin ist.[/B]
Doch wie bekommst du nun den orangen flächeninhalt raus?

Indem ich nicht wie du konfus irgendwelche Intergale berechne, sondern ganz einfach wie Martin_G Dreiecke.

29.06.2005, 14:58

brunsi

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warum sagst du das nicht gleich, dass du es mit dreiecken machst? Willkommen

Willkommen

das stimmt, dazu benötigt man nur die drei punkte, von denen zwei auf der x-achse liegen und einer auf jeweils einem der beiden graphen.

ich hatte mir das eigentlich so ähnlich gedacht, hab aber deinen ansatz zuerst nicht verstanden,weil das ohne irgendwelche angaben einfach hingeklatscht wurde. unglücklich

unglücklich

ich hätte nämlich auch einfah die schnittpunkte genommen und mit deren hilfe über die analytische geometrie die längen der seiten der orangen fläche berechnet und dann den Flächeninhalt berechnet.

deins geht natürlich schneller.

29.06.2005, 15:04

sqrt(2)

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Zitat:

Original von brunsi
warum sagst du das nicht gleich, dass du es mit dreiecken machst? Willkommen

Willkommen

Weil du dazu nur die Aufgabe hättest lesen müssen?

29.06.2005, 15:10

brunsi

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das das dreieck OPQ (oder welche bezeichnung auch imme rdafür gewählt wird) maximal werden sollte weiß ich auch. ich wäre da bloß anders dran gegangen zu umständlich vielleicht?? unglücklich

unglücklich

denn ich hätte ja auch die eine seite in abhängigkeit von u herausbekommen.
aber deins ist für den threadschreiber wirklich einfache rnachzuvollziehen. Freude

Freude

29.06.2005, 15:13

MartinG

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Zitat:

Original von brunsi
ich hatte mir das eigentlich so ähnlich gedacht, hab aber deinen ansatz zuerst nicht verstanden,weil das ohne irgendwelche angaben einfach hingeklatscht wurde.

Oben steht doch die komplette Aufgabe! Prost

Prost

DANKE AN ALLE!!! Wink

Wink

29.06.2005, 15:16

brunsi

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gut, danke schön, dann hab ich mal nen einfacheren weg kennengelernt. man lernt hier wirklich nie aus Gott

Gott

Willkommen

Tanzen

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