Verhalten von Folgen/Funktionen bei Limes

29.06.2005, 19:40

Wurz

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Verhalten von Folgen/Funktionen bei Limes

hi

habe folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } -\frac{x*e^{-ax}}{a} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

nun sehe ich dass ich den Fall: bestimmt divergent * Nullfolge habe. denn e hoch -unendlich geht gegen Null und x gegen unendlich geht gegen unendlich...
Ergibt dieser Ausdruck Null?

Meine bisherige suche ergab nämlich nur folgenden Fall: Nullfolge*beschränkteFolge => 0

könntet ihr mir vielleicht nen Link oder eine Auflistung mit solchen Fällen posten?

29.06.2005, 20:24

sqrt(2)

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Ja, $\begin{eqnarray*} \infty \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

29.06.2005, 21:00

Calvin

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@sqrt(2)

Das stimmt nicht. $\begin{eqnarray*} \infty\cdot 0 \end{eqnarray*}$ kann alles sein und muss jedes mal neu untersucht werden. Z.B. existiert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}\cdot e^x \end{eqnarray*}$ nicht.

EDIT
In der obigen Aufgabe ist der Grenzwert aber tatsächlich 0.

29.06.2005, 21:07

brunsi

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@Calvin: kannst du deine überlegungen noch mal etwas genauer skizzieren? Hilfe

Hilfe

Tanzen

29.06.2005, 21:32

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Calvin
Das stimmt nicht. $\begin{eqnarray*} \infty\cdot 0 \end{eqnarray*}$ kann alles sein und muss jedes mal neu untersucht werden. Z.B. existiert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}\cdot e^x \end{eqnarray*}$ nicht.

Du hast natürlich Recht. Meine Erinnerung an eine Tabelle mit Rechenregeln für die Unendlichkeit war da fehlerhaft...

29.06.2005, 23:25

Ben Sisko

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Du hast natürlich Recht. Meine Erinnerung an eine Tabelle mit Rechenregeln für die Unendlichkeit war da fehlerhaft...

Solche werden auch meist nicht allgemein definiert ("für die gesamte Mathematik"), sondern nur für bestimmte Zwecke, so dass sie im Kontext sinnvoll sind.

Gruß vom Ben

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29.06.2005, 23:39

Wurz

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abend,

ich schließe mich dem kommentar von brunsi an, dass ihr vielleicht noch erwähnen könntet WIE man nun darauf kommt wann unendlich*null=null ist oder wann auch nicht...

danke jedenfalls schonmal für die antworten!
Wurz

30.06.2005, 01:07

JochenX

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also in deinem fall bietet sich anwenden des satzes von de l'hospital je geradezu an
kennst du den?

das zeigt übrigens auch, dass der grenzwert von calvins folge unendlich ist....

30.06.2005, 09:16

brunsi

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und wie macht man es, wenn der Satz von l'hospital nicht zur anwendung kommt?

30.06.2005, 10:07

JochenX

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das hängt völlig von der folge ab.....
es gibt kein allgemeines rezept zur grenzwertbetrachtung, zu sagen sei nur, dass man eben bei produkten und summen einzeln grenzwertbetrachtung durchführen kann; der gesamte grenzwert wird dann eben auch multipliziert (addiert)

30.06.2005, 11:21

4c1d

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und wenn die folge nicht konvergiert, kann man die faktoren/summanden dann auch (manchmal? wann?) einzeln betrachten?

30.06.2005, 11:39

therisen

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Wie meinst du das????

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x^2+x= \infty \end{eqnarray*}$

Denn $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ streben gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

30.06.2005, 11:42

Frooke

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@4c1d: Hast Du ein Beispiel für Deine Frage?

Bei Limiten kann man schon einzeln betrachten. Du kennst doch die Grenzwertsätze:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to x} \bigg(a(n)\cdot b(n)\bigg)=\lim\limits_{n \to x} a(n) \cdot \lim\limits_{n \to x} \ b(n) \end{eqnarray*}$
Oder auch
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to x} \bigg(a(n) + b(n)\bigg)=\lim\limits_{n \to x} a(n) + \lim\limits_{n \to x} \ b(n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to x} \left(\frac{a(n)}{b(n)}\right)=\frac{\lim\limits_{n \to x} a(n)}{\lim\limits_{n \to x}b(n)}, \lim\limits_{n \to x}b(n) \neq 0 \end{eqnarray*}$

30.06.2005, 12:50

brunsi

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gut zu wissen, das es so etwas auch gibt @Frooke. unglücklich

unglücklich

unglücklich

traurig

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

geschockt

so etwas hatten wir schon wieder nicht. du sicherlich oder auch selbst angelesen?

gruß dennis

30.06.2005, 14:32

4c1d

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Naja, ich frage, weil in meinem Buch Beweise für die von Frooke dargestellten Regeln stehen - allerdings wird dabei immer vorausgesetzt, dass die einzelnen Summanden bzw. Faktoren jeweils für sich konvergieren (es wird die Definition von Konvergenz benutzt). Meine Frage wäre, ob diese Regeln auch gelten, wenn einer oder mehr der Summanden/Faktoren nicht konvergiert, also ob man z.B. schreiben kann $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} =^{?}_{?} \frac{\lim_{x \to \infty} e^x}{\lim_{x \to \infty} x} \end{eqnarray*}$ Das käme mir von der Schreibweise her nämlich etwas "schief" vor verwirrt

verwirrt

edit : in dem Beispiel ist es ein Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ , was bei den Regeln bei Frooke nicht so ist, aber es gibt ja auch Funktionen, die an einer bestimmten Stelle gegen unendllich gehen.

30.06.2005, 14:37

sqrt(2)

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Das kannst du schreiben, aber es bringt dich beim Finden des Grenzwertes nicht weiter. An dieser Stelle solltest du dann wirklich auf die [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L'Hospital]Regel von L'Hospital[/url] zurückgreifen.

30.06.2005, 19:31

Frooke

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Ja da hast Du recht. Denn bei unendlich mal null bringt das auch wieder nichts... Wobei die Regeln natürlich auch für das Verhalten gegen unendlich anwendbar sind...

30.06.2005, 19:56

4c1d

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Hm, dass das in dem Fall nichts "bringt", ist klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ich frage mich, ob man das überhaupt so schreiben kann

30.06.2005, 21:12

etzwane

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RE: Verhalten von Folgen/Funktionen bei Limes

Zitat:

Original von Wurz
habe folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } -\frac{x*e^{-ax}}{a} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Hier muss man etwas umformen zu $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } -\frac{x}{ae^{ax}} \end{eqnarray*}$
oder zu $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } -\frac{e^{-ax}}{ax} \end{eqnarray*}$ >>> EDIT: hier ist ein Schreibfehler, sorry, aber ihr passt ja auf ...

(ich meinte eigentlich: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } -\frac{e^{-ax}}{\frac{a}{x}} \end{eqnarray*}$ , aber das bringt wohl nicht weiter ..., war keine gute Idee)

und dann l'Hospital anwenden

30.06.2005, 21:47

Matze_V

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Ich bin auch der Meinung, dass $\begin{eqnarray*} 0*\infty \end{eqnarray*}$ ein unbestimmter Ausdruck ist.
Aber wie etzwane schon sagt muss in einem solchen Fall der Term auf $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$ umgeformt werden, damit die L'Hospitalsche Regel angewandt werden kann.
Wenn ich mich nicht täusche sollte das die Lösung sein:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } -\frac{x}{a*e^{ax} } = \lim_{x \to \infty } -\frac{1}{a^{2} *e^{ax} } = 0 \end{eqnarray*}$

01.07.2005, 00:23

JochenX

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RE: Verhalten von Folgen/Funktionen bei Limes

Zitat:

Original von etzwane

Zitat:

Original von Wurz
habe folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } -\frac{x*e^{-ax}}{a} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Hier muss man etwas umformen zu $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } -\frac{x}{ae^{ax}} \end{eqnarray*}$
oder zu $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } -\frac{e^{-ax}}{ax} \end{eqnarray*}$

und dann l'Hospital anwenden

hallo etzwane, das erste ist richtig...
aber das zweite nicht, wieso ist denn da plötzlich das x im nenner? das ist falsch! (edit: das zweite wäre auch 0/unendlich)

01.07.2005, 11:43

Frooke

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Zitat:

Original von Matze_V
Wenn ich mich nicht täusche sollte das die Lösung sein:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } -\frac{x}{a*e^{ax} } = \lim_{x \to \infty } -\frac{1}{a^{2} *e^{ax} } = 0 \end{eqnarray*}$

Da das noch niemand bestätigt hat... Ist richtig Freude

Freude

! Wobei die Aufgabe doch etwas seltsam gestellt ist und noch verschiedene Fälle von a geprüft werden sollten...

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty} -\frac{x\mathrm{e}^{-ax}}{a}, a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Denn es ist schon sicher mal:
$\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$
und sonst empfehle ich eine Fallunterscheidung!
Für a>0
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty} -\frac{x\mathrm{e}^{-ax}}{a}=\lim\limits_{x \to \infty} -\frac{x}{a\mathrm{e}^{ax}}=\lim\limits_{x \to \infty} -\frac{1}{a^2\mathrm{e}^{ax}}=0 \end{eqnarray*}$ (wie Matze_V gesagt hat)!
Dann aber für a<0
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty} -\frac{x\mathrm{e}^{-ax}}{a}=\lim\limits_{x \to \infty} -\frac{1}{a}\frac{x}{\mathrm{e}^{ax}}=\infty \end{eqnarray*}$

@all: Oder täusch ich mich da?

01.07.2005, 11:48

JochenX

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nein stimmt
ich glaube, wir hatten alle stillschweigend a>0 vorausgesetzt

gut, dass du aufpasst
durch a<0 wird das zu einem simplen fall "unendlich/0" als grenzwert
[ich hab soo viele hier im board gesehen, die hier dann noch hospitalen würden smile

smile

]

mfg jochen

01.07.2005, 12:39

Frooke

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Wenn wir schon davon reden... Weiss jemand, wo ich den Beweis dieser Hospital-Bernoulli-Regel finden kann? Würd mich drum interessieren, auch welche Weise da bewiesen wird...

01.07.2005, 12:51

JochenX

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falls du den beweis des satzes von de l'hospital suchst, dann wirst du unter dem wikipedialink von sqrt fündig
http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L'Hospital

01.07.2005, 12:54

Frooke

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Der war eher peinlich, sorry Gott

Gott

Hab's mittlerweile gesehen... Hammer

Hammer

Danke! Ist ok! Wobei ich den Beweis noch nicht vollständig verstanden habe... (Konkret: Wie kommt man auf die bestimmten Gültigkeitsbereiche? Weshalb dars nur +-unendlich und null sein?)

01.07.2005, 13:27

JochenX

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hmm, joa, so ganz schau ich da grad auch nicht durch, aber dieser beweis gilt glaube ich nur für den teil f/g hat grenzwert 0/0

denn siehe: "Da f(c) = g(c) = 0", da wird das gebraucht

mfg jochen

01.07.2005, 14:08

Frooke

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Genau danke! Und auf die unendlich kommt man von null aus vielleicht durch eine geeignete Substitution...

Bin jetzt gar nicht sicher, aber kann man nicht
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x = \lim_{n \to 0} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ benutzen, um den Gültigkeitsbereich auszuweiten?

01.07.2005, 14:14

JochenX

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also ganz ehrlich frooke:
da sage ich nur, versuch es smile

smile

als idee sicher nicht schlecht, aber ob du den beweis so ohne weiteres umdichten kannst, weiß ich nicht.

das wird mir zu analytisch, da lasse ich mal die finger weg
viel spaß!

01.07.2005, 14:55

Frooke

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War nur so eine erbärmliche Idee...Aber ich werds wohl später mal ansehen, denn erstens traue ich es mir nicht zu (hab ja auch erst seit gestern mein Abidiplom smile

smile

) und aussserdem bin ich (aus dem gleichen Grund) im Moment eher am Party als am Mathe machen Big Laugh

Big Laugh

Und du sagst, es werde Dir zu analytisch: Was ist eigentlich Dein Lieblingsgebiet? Ist zwar OT die Frage, aber kannst mir ja auch eine PN schicken...

Danke jedenfalls!!!

01.07.2005, 15:19

etzwane

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RE: Verhalten von Folgen/Funktionen bei Limes

Zitat:

Original von LOED
hallo etzwane, das erste ist richtig...
aber das zweite nicht, wieso ist denn da plötzlich das x im nenner? das ist falsch!

das war ein Schreibfehler von mir, hab's korrigiert, bringt aber korrigiert auch nicht weiter, also schnell vergessen ...

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