Topologie

20.01.2008, 18:59

opengl_noob

Topologie

hi

Mir ist etwas bei der Definition von Topologie nicht klar.
Zitat Wikipedia:

Zitat:

Definition:
Eine Topologie ist ein Mengensystem T bestehend aus Teilmengen („offene Mengen“ genannt) und einer Grundmenge X, für die die folgenden Axiome erfüllt sind:
-Die leere Menge und die Grundmenge X sind offene Mengen.
-Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
-Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
Eine Menge X zusammen mit einer Topologie T auf X heißt topologischer Raum (X,T).

Wenn ich jetzt als Spezialfall den metrischen Raum habe.
Also eine Grundmenge X (zB der reelle Vektorraum) und eine Metrik d (zB eine Funktion die den Abstand zweier übergebener Vektoren liefert).
Die Metrik d wird also in diesen Raum benutzt und beides bildet den metrischen Raum (X,d).

Aber wie ist jetzt die Topologie T bzw d zusammengesetzt?
Müssen ja Teilmenengen aus X sein (also aus R^3).
Theoretisch ist die Funktion d ja ein Kreuzprodukt (R^3xR^3)xR.
Wie sieht so eine Teilmenge aus? Die Elemente können ja nicht mehr als 3 Dimensionen haben oder?
Hoffe jemand kann mir da weiterhelfen Wink

20.01.2008, 19:01

therisen

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Die Topologie ist gerade die Menge der offenen Mengen bezgl. der Metrik des Raumes.

20.01.2008, 19:07

Leopold

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In einem metrischen Raum $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ kann man $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebungen bilden, auch "Kugeln" genannt. Für $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ und reelles $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ definiert man

$\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x) = \left\{ \left. y \in X \, \right| \, d(y,x) < \varepsilon \right\} \end{eqnarray*}$

als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Eine Menge $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ wird nun als offen definiert, wenn es zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} x \in O \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt, die ganz zu $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ gehört. Die so definierten Mengen $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ bilden dann die Topologie $\begin{eqnarray*} \mathcal{T} \end{eqnarray*}$ , nach der du gesucht hast. Du kannst ja einmal versuchen, die entsprechenden Axiome nachzuweisen.

20.01.2008, 20:29

opengl_noob

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Ich hab mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen.

Die oben genannte Metrik spezifiziert die Topologie "Abstand" auf die Struktur R^3.
Müssten die Teilmengen der Topologie dann nicht aus je 2 Punkten aus R^3 bestehen? Also {v1,v2}.
Dann würde es passen von wegen Teilmengen der Grundmenge R^3.
Wenn ich damit richtig liege, wären diese Teilmengen dann auch offene Mengen?
"Eine Menge ist offen, wenn ihre Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind." v1 hat zu v2 den Abstand l und umgekehrt.
Oder ich könnte die Teilmengen sogar nach Abstand einteilen, dann müssten die Teilmengen allerdings geordnete Tupel sein.
Ich muss mir das immer konkret vorstellen Augenzwinkern

Lieg ich da richtig?

20.01.2008, 20:52

Leopold

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Zitat:

Original von opengl_noob
Ich muss mir das immer konkret vorstellen Augenzwinkern

Für die übliche euklidische Topologie im zwei- oder dreidimensionalen Raum hilft folgende Vorstellung:

Zeichne eine Schlaufe auf dein Blatt Papier, die sich schließt, aber nicht irgendwie kreuzt. Dann ist ihr Inneres ohne Rand eine offene Menge im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Im Dreidimensionalen mußt du dir statt einer Schlaufe das Innere eines Luftballons, wie krumm auch immer aufgeblasen, vorstellen. Und dann darfst du auch beliebig viele Schlaufen- bzw. Luftballonmengen miteinander vereinigen (die dürfen auch getrennt liegen). Du erhältst so immer zwei- bzw. dreidimensionale offene Mengen. Beachte aber: Immer nur das Innere der Mengen zählt!

Du merkst selber, daß du mit dem, was du geschrieben hast, ziemlich daneben lagst.

21.01.2008, 14:12

opengl_noob

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Hab nochmal bei Wiki nachgeschlagen.
Auf der Seite zum Metrischen Raum findet man folgenden Satz:

Zitat:

Der Begriff „topologischer Raum“ verallgemeinert den Begriff „metrischer Raum“: Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum mit der Topologie, die durch die Metrik induziert wird (siehe dazu Umgebung).

Weiter bei Umgebungen findet man den Abschnitt "e-Umgebungen in metrischen Räumen".
Dort ist folgender Text entscheidend:

Zitat:

Eine Teilmenge von M ist nun genau dann eine Umgebung des Punktes x, wenn sie eine e-Umgebung von x umfasst. Die so definierten Umgebungen bestimmen damit auf der Menge M eindeutig eine Topologie: die durch die Metrik induzierte Topologie. Verschiedene Metriken können denselben Umgebungsbegriff und damit dieselbe Topologie induzieren.

Die Metrik ist also nicht selbst eine Topologie.
Sie induziert (!) nur die Topologie mit den Teilmengen "Umgebungen" (die "offene Mengen" sind).
So deute ich das jedenfalls verwirrt

21.01.2008, 14:41

Leopold

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Vorsicht! "Umgebung" und "offene Menge" ist nicht dasselbe. Umgebungen $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eines Punktes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ brauchen nicht offen zu sein. Aber sie enthalten eine offene Menge $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ , die wiederum $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ enthält. Die Inklusionskette sieht also so aus:

$\begin{eqnarray*} x \in O \subseteq U \end{eqnarray*}$

Auch $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ selbst ist natürlich eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , aber eben dann eine "offene Umgebung".

Du hattest nach einer anschaulichen Vorstellung für die Mengen $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ gefragt. Die habe ich dir in meinem vorigen Beitrag gegeben.

Und noch einmal präzise: In einem metrischen Raum $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ heißt eine Menge $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ dann und nur dann offen, wenn man für jedes $\begin{eqnarray*} x \in O \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ eine geeignete $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x) \end{eqnarray*}$ einschieben kann:

$\begin{eqnarray*} x \in U_{\varepsilon}(x) \subseteq O \end{eqnarray*}$

Diese Definition von "offene Menge" ist gemeint, wenn man von der von $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ induzierten Topologie spricht.

21.01.2008, 15:37

opengl_noob

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Yup das mit offenen Mengen kann ich mir vorstellen Augenzwinkern

Hab da ein ziemlich anschauliches Kapitel in einem Buch zu Metrik.
Den Unterschied "Umgebung" und "offene Menge" hab ich verstanden. Danke!

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