Tschebyschew-Ungleichung

29.06.2005, 21:23

_freeangle_

Tschebyschew-Ungleichung

Ich sitze gerade bei der folgenden Aufgabe und komme Absolut nicht weiter.

Eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ sei gleichverteilt auf {-n,...,0,1,...,n}.

Vergleichen sie für große $\begin{eqnarray*} nP(|X_n|\geq \frac{n}{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(|X_n|\geq \frac{n}{10}) \end{eqnarray*}$ mit den Abschätzungen, die man aus der Tschebyschew- Ungleichung erhält.

Also ganz ehrlich habe ich in der Vorlesung auch nicht so ganz verstanden wofür diese Ungleichung gut ist und somit kann ich das auch nicht wirklich Umsetzen.

Also definiert ist die T.- Ungleichung als :

$\begin{eqnarray*} P(\{\omega:|\sum_{i=1}^n~(X_i - EX_i)| \geq \epsilon\}) \leq \frac{var(\sum_{i=1}^n~(X_i - EX_i))}{\epsilon^2} \end{eqnarray*}$

Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?

29.06.2005, 21:35

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Da hast du dir aber eine besonders komplizierte Form der Tschebyschew-Ungleichung ausgesucht, nämlich die für die Summe $\begin{eqnarray*} X_1+X_2+\ldots+X_n \end{eqnarray*}$ . Für nur eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sieht das viel kürzer aus, nämlich

$\begin{eqnarray*} P\left(\left|X-\mathbb{E}~X\right|\geq\varepsilon\right) \leq \frac{\mathrm{var}~X}{\varepsilon^2} \end{eqnarray*}$

Hier hast du nun Gleichverteilung, d.h. $\begin{eqnarray*} P(X_n=-n)=P(X_n=-n+1)=\ldots=P(X_n=n)=\frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ und kannst daraus die Charakteristiken $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~X_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm{var}~X_n \end{eqnarray*}$ ausrechnen und damit die Aufgabe lösen.

29.06.2005, 21:43

_freeangle_

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Wie kommst du auf die Gleichverteilung?
Und wie kann ich die die Charakteristiken errechen?

29.06.2005, 21:50

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Zitat:

Original von _freeangle_
Wie kommst du auf die Gleichverteilung?

Na wie schon:

Zitat:

Original von _freeangle_
Eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ sei gleichverteilt auf {-n,...,0,1,...,n}.

Und von -n bis n sind es genau (2n+1) Zahlen.

29.06.2005, 21:52

_freeangle_

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Ja stimmt das erscheint mir logisch! Aber wie mache ich jetzt damit weiter? Ich muss wirklich sagen Stochastik liegt mir überhaupt nicht *schäm*

01.07.2005, 18:51

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Für diskrete Zufallsgrößen ist

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~X &=& \sum_k x_k\cdot P(X=x_k)\\ \mathrm{var}~X &=& \left(\sum_k x_k^2\cdot P(X=x_k)\right)-\left( \mathbb{E}~X \right)^2 \end{eqnarray*}$

Damit hast du Erwartungswert und Varianz. Und die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P\left(|X_n|\geq \frac{n}{2}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P\left(|X_n|\geq \frac{n}{10}\right) \end{eqnarray*}$ kriegst du durch entsprechende Summen der obigen Einzelwahrscheinlichkeiten. Das sollte dir erstmal weiterhelfen.

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