Addit.Theoreme mittels Drehmatrix

29.06.2005, 23:17

lokomotive

Addit.Theoreme mittels Drehmatrix

Hallo...
Ich habe ein Problem mit der Drehmatrix...
Und zwar soll ich mittels ihr die Additionstheoreme von sin und cos herleiten.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} cos\beta & -sin\beta \\ sin\beta & cos\beta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so und hier setzt mein Gehirn aus...
Wie komm ich denn ab jetzt weiter? Ist es überhaupt der richtige Ansatz?

29.06.2005, 23:21

Ben Sisko

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RE: Addit.Theoreme mittels Drehmatrix
Überleg dir einmal, was inhaltlich herauskommt, wenn du die Matrizen als Drehung interpretierst und was herauskommt, wenn du die Summe formal berechnest!

Gruß vom Ben

29.06.2005, 23:30

lokomotive

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RE: Addit.Theoreme mittels Drehmatrix

Zitat:

Original von Ben Sisko
Überleg dir einmal, was inhaltlich herauskommt, wenn du die Matrizen als Drehung interpretierst und was herauskommt, wenn du die Summe formal berechnest!

Gruß vom Ben

Als formal berechnen meinst du die obere Reihe zusammen zählen und die untere ebenfalls?
Eine Interpretration als Drehung ... das ist mir nicht ganz klar was du meinst.

Mein Problem ist, dass ich nicht sicher bin, wie ich die Matrizen "bearbeiten" kann.
Wie komme ich zur Multiplikation bei den Theoremen?
also $\begin{eqnarray*} cos(\alpha + \beta )= cos\alpha * cos\beta - sin\alpha * sin\beta \end{eqnarray*}$
Ich muss wohl die Möglichkeit haben aus der Addition der Matrizen eine Multiplikation zu machen?!

29.06.2005, 23:34

Ben Sisko

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RE: Addit.Theoreme mittels Drehmatrix
Sorry, hatte nicht genau genug hingesehen. Die Matrizen musst du multiplizieren, da hast du dich wohl verschrieben.
Das Produkt der beiden Matrizen heisst dann inhaltlich "erst die eine Drehung durchführen, dann die andere" (Matrix als Abbildung aufgefasst).

29.06.2005, 23:40

lokomotive

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demnach müsste es heissen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos(\alpha+\beta) & -sin(\alpha+\beta)\\ sin (\alpha+ \beta) & cos( \alpha +\beta ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wird zu matrix mal matrix und nicht plus? so wie ich es oben geschrieben habe?

29.06.2005, 23:48

Ben Sisko

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Genau,
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} cos\beta & -sin\beta \\ sin\beta & cos\beta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist die Hintereinanderausführung der beiden Drehungen und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos(\alpha+\beta) & -sin(\alpha+\beta)\\ sin (\alpha+ \beta) & cos( \alpha +\beta ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das ganze als eine Drehung aufgefasst, denn wenn du erst um $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und dann um $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ drehst, drehst du insgesamt um $\begin{eqnarray*} \alpha + \beta \end{eqnarray*}$ .

Alles klar?

29.06.2005, 23:53

lokomotive

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ich hoffe ja... smile

Danke erstmal... werde jetzt ein bisschen rumprobieren.
Ansonsten melde ich mich morgen nochmal.

18.06.2017, 20:47

fusion

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Additionstheorem mittels Drehmatrizen
Ich habe die beiden Matrizen ebenfalls multipliziert, um mittels diesen die Additionstheoreme nachzuweisen. Theoretisch habe ich diese für sinus und cosinus raus, aber da steht mehr als ich brauche. Also die ersten beiden entsprechen den Additionstheoremen von sin und cos.

Was ist mit dem Rest? Ist das überhaupt der richtige Ansatz?

Liebe Grüße

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