Harmonische Schwingung

01.07.2005, 15:21

SuperActionJesus

Harmonische Schwingung

Servus!

Ich möchte ein Programm schreiben, das eine harmonische Schwingung
mithilfe der Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} s(t)=-\frac{m}{D}*\frac{d^{2}s(t)}{dt^{2}} \end{eqnarray*}$ berechnet. Und das nach
Möglichkeit mit dem Runge-Kutta-Verfahren.

Ein bisschen rumprobiert habe ich schon, aber ohne Erfolg.

Ich hoffe, dass mir jemand sagen kann, wie die korrekte Vorgehensweise ist.
Und danke schonmal im Vorraus smile

01.07.2005, 18:08

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Runge-Kutta gibt's meines Wissens nach nur für Dgl erster Ordnung, da aber auch vektoriell. Also musst du deine Dgl zweiter Ordnung in eine erster Ordnung transformieren, naheliegenderweise so:

$\begin{eqnarray*} z(t) = \begin{pmatrix} z_1(t)\\ z_2(t)\end{pmatrix} := \begin{pmatrix} s(t)\\ \dot{s}(t)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

womit man dann

$\begin{eqnarray*} \dot{z} = \begin{pmatrix} \dot{z}_1\\ \dot{z}_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot{s}\\ \ddot{s}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} z_2\\ -\displaystyle\frac{D}{m}z_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann ganz normal Runge-Kutta auf diesen Vektor anwenden.

01.07.2005, 19:27

SuperActionJesus

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Den Transformationstrick konnte ich nachvollziehen, aber irgendetwas mache ich bei der Anwendung falsch.
Könntest du vielleicht ausführen, wie das konkret aussähe?

01.07.2005, 20:50

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Ich nehme mal an, du meinst das klassische Runge-Kutta-Verfahren, wo man für die Dgl $\begin{eqnarray*} \dot{z}=F(t,z(t)) \end{eqnarray*}$ ausgehend von einem Schätzwert $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} z(t) \end{eqnarray*}$ auf einen Schätzwert $\begin{eqnarray*} \tilde{Z} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} z(t+h) \end{eqnarray*}$ schließen möchte. Das geht so:

$\begin{eqnarray*} \tilde{Z} = Z+\frac{h}{6}(F_A+2F_B+2F_C+F_D) \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} F_A &=& F\left(t,Z\right)\\ F_B &=& F\left(t+\frac{h}{2},Z+\frac{h}{2}F_A\right)\\ F_C &=& F\left(t+\frac{h}{2},Z+\frac{h}{2}F_B\right)\\ F_D &=& F\left(t+h,Z+hF_C\right) \end{eqnarray*}$

Hier im konkreten Fall nun ist dieses $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sogar von der Zeit unabhängig, d.h., es gilt $\begin{eqnarray*} F(t,z) = F(z) \end{eqnarray*}$ . Dadurch vereinfacht sich alles zu

$\begin{eqnarray*} F_A &=& F\left(Z\right)\\ F_B &=& F\left(Z+\frac{h}{2}F_A\right)\\ F_C &=& F\left(Z+\frac{h}{2}F_B\right)\\ F_D &=& F\left(Z+hF_C\right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt einfach nur noch die Funktion

$\begin{eqnarray*} F(z) = F\left(\begin{pmatrix} z_1\\ z_2\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} z_2\\ -\displaystyle\frac{D}{m}z_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da einsetzen! Als Startwert brauchst du natürlich noch Ort $\begin{eqnarray*} z_1(t_0)=s(t_0) \end{eqnarray*}$ und Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} z_2(t_0)=\dot{s}(t_0) \end{eqnarray*}$ zu einem festgelegten Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ , und musst die Schrittweite $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ noch passend wählen.

02.07.2005, 01:29

SuperActionJesus

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Klasse! Dankeschön smile

Ich probier das gleich morgen (heute) aus Augenzwinkern

02.07.2005, 15:41

SuperActionJesus

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Jaaaa!
Es geht! Einwandfrei!

Nochmals vielen Dank! smile

EDIT: Die Umsetzung:

code:

1:
2:
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4:
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6:
7:
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18:

  omega := - D / m;
  z1 := s;             // Alter Ort
  z2 := v;             // Alte Geschwindigkeit

  Fa[0] := z2;
  Fa[1] := omega * z1;

  Fb[0] := z2 + (h / 2) * Fa[1];
  Fb[1] := omega * (z1 + (h / 2) * Fa[0]);

  Fc[0] := z2 + (h / 2) * Fb[1];
  Fc[1] := omega * (z1 + (h / 2) * Fa[0]);

  Fd[0] := z2 + h * Fc[1];
  Fd[1] := omega * (z1 + h * Fc[0]);

  s := s + (h / 6) * (Fa[0] + (2 * Fb[0]) + (2 * Fc[0]) + Fd[0]);    //Neuer Ort
  v := v + (h / 6) * (Fa[1] + (2 * Fb[1]) + (2 * Fc[1]) + Fd[1]);    //Neue Geschwindigkeit

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