Mehrfachintegrale

02.07.2005, 13:26

jost

Mehrfachintegrale

Hi Leute,

ich hier mal drei Aufgaben und mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wann ich die Funktionen in Parameterform transformieren muss.

1) Ein Volumen wird durch die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = 8- x^{2} -y^{2} \end{eqnarray*}$ nach oben und durch die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x,y)=2(x^{2}+y^{2}-19 \end{eqnarray*}$ nach oben begrenzt und eingeschlossen.
Berechnen Sie das Volumen.

2) Die durch den Kreis $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}=2 \end{eqnarray*}$ und die Parabel $\begin{eqnarray*} z=x^{2} \end{eqnarray*}$ begrenzte Fläche erzeugt bei der Drehung um die z-Achse einen Rotationskörper, dessen Volumen zu bestimmen ist.

zu 1) diese Aufgabe wurde in Polarkoordinaten transfomiert.
zu 2) bei dieser Aufgabe wurde x>r, sie wurde aber dann nicht mehr in Polarkoordinaten transformiert.

Vielleicht kann mir jemand erklären, wann ich Funktionen in Polar- oder Zylinderkoordinaten transformieren muss.

danke, martin

02.07.2005, 14:24

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Zitat:

Original von jost
2) Die durch den Kreis $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}=2 \end{eqnarray*}$ und die Parabel $\begin{eqnarray*} z=x^{2} \end{eqnarray*}$ begrenzte Fläche

Du kannst zwar vielleicht nichts dafür, aber das ist schon eine sehr seltsame Beschreibung: Der Kreis $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}=2 \end{eqnarray*}$ ist eine (geschlossene) Kurve in der x-y-Ebene, die Parabel $\begin{eqnarray*} z=x^{2} \end{eqnarray*}$ eine Kurve in der x-z-Ebene. Inwiefern begrenzen die eine Fläche ??? verwirrt

02.07.2005, 14:27

therisen

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Bitte vermeide Doppel/Pushpostings

02.07.2005, 17:20

jost

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Bei Rotation schneiden sich die Funftion in der Höhenlinie z=c=1.
Die Schnittfläche ist ein zur x-y-Ebene paralleler Kreis mit dem Radius R=1.

02.07.2005, 20:12

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Ok, du rotierst also entgegen deiner ersten Beschreibung zuerst ! Und zwar den Funktionengraph $\begin{eqnarray*} z=x^2 \end{eqnarray*}$ der x-z-Ebene um die z-Achse, das ergibt die Funktion $\begin{eqnarray*} z=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ , ein Rotationsparaboloid im Raum.

Weiter im Text: Das ganze schneidest du nicht mit dem Kreis $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=2 \end{eqnarray*}$ der x-y-Ebene, denn da gibt es keinen Schnittpunkt. Du schneidest allenfalls das Rotationsparaboloid mit dem (unendlich) langen Zylinder $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=2, z\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Und der Schnitt ist nicht der von dir genannte Kreis, sondern der Kreis $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=2, z=2 \end{eqnarray*}$ . Dazu die angefügte Darstellung der beteiligten Flächen im Raum.

05.07.2005, 09:17

slowfox

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Mehrfachintegral
Hier ist noch ein Problem mit Mehrfachintegralen....

Und zwar die Mehrfachintegration eines Logarithmus:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{R}\int_{0}^{\sqrt{R²-x²}}~ln(1+x²+y²)~dydx \end{eqnarray*}$

Dies soll in Polarkoordinaten umgewandelt und dann berechnet werden, und dabei komme ich bei der Integration des Logarithmus nicht weiter!

Hoffe mir kann jemand helfen!

Danke!

05.07.2005, 09:39

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Immer eins nach dem anderen: Schreib doch erstmal hin, was nach dem ersten Schritt (Übergang zu Polarkoordinaten) rauskommt, da spielt der Logarithmus noch gar keine Rolle. Dann sehen wir weiter.

05.07.2005, 11:57

slowfox

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Mehrfachintegrale
Ich glaube nach Umwandlung müsste folgendes rauskommen, wobei ich nicht genau weiß wie ich die eine Grenze(das Fragezeichen) bilden soll!? Da müsste doch eine Funktion die sin oder cos enthält oder halt ein bestimter Wert, oder nicht?

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2pi}\int_{0}^{?}~rln(1+r²)~drd\alpha \end{eqnarray*}$

05.07.2005, 15:38

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Der Integrand ist richtig, die Winkel-Grenzen aber nicht: Du integrierst über

$\begin{eqnarray*} G = \left\{ (x,y) \bigm| 0\leq x\leq R, 0\leq y\leq\sqrt{R^2-x^2} \right\} = \left\{ (x,y) \bigm| 0\leq x^2+y^2\leq R^2, x\geq 0, y\geq 0 \right\} \end{eqnarray*}$ ,

das ist nur ein Viertelkreis, und zwar der im ersten Quadranten! Der geht bei der Polarkoordinaten-Transformation in

$\begin{eqnarray*} G' = \left\{ (r,\alpha) \bigm| 0\leq r\leq R, 0\leq \alpha\leq\frac{\pi}{2} \right\} \end{eqnarray*}$

über.

07.07.2005, 17:49

zappelfry

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RE: Mehrfachintegrale

Zitat:

Original von slowfox
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2pi}\int_{0}^{?}~rln(1+r²)~drd\alpha \end{eqnarray*}$

1+r^2 substituieren, dann kürzt sich das r und du hast nur mehr ln(u) dastehen. das sollte dann kein problem sein

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