Charakteristisches Polynom / Minimalpolynom |
22.01.2008, 21:16 | pi_mal_Daumen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Charakteristisches Polynom / Minimalpolynom Bestimme das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom folgender Matrizen über Soo. Also ich glaube, dass ich beim charakteristischen Polynom es richtig gemacht habe. Ich habe errechnet, was ja das char. Polynom dann ist. Dort habe ich dann folgendes raus: Für Für Ist das wohl so richtig? Stimmt das dann auch, dass die Eigenwerte bei der ersten Matrix 1 und -1 sind? Bei der anderen müsste ich wohl ne Nullstelle erraten und dann Polynomdivision machen, und danach weiterschauen, oder? Wo ich nun noch Hilfe bräuchste: Wie komme ich denn dann an das Minimalpolynom? Das habe ich noch nie gemacht. Könnte mir da jemand Hilfe geben, damit ich des lösen kann? Danke! |
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22.01.2008, 21:35 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Kleiner Vorzeichenfehler am Schluss... muss es natürlich heißen
Ja.
Eigenwerte sind ja die Nullstellen des char. Polynoms....und diese kannst du doch in der bereits vorliegenden Faktorisierung bestens ablesen
Da bin ich mir nicht ganz sicher....denke jedoch dass du dir überlegen musst mit welchem Polynom minimalen Grades die jeweiligen Eigenwerte darstellbar wären. Gruß Björn |
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22.01.2008, 21:46 | pi_mal_Daumen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ups... natürlich! Es sollte heissen! Danke für die Korrektur Und zu den Eigenwerten von der 2. Matrix: Stimmt. War ich wohl ein bisschen blind. Es kann ja eigentlich nur 1 in Frage kommen, wenn ich das so richtig sehe. Aber mit dem Minimalpolynom steht ich leider noch aufm Schlauch. |
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22.01.2008, 23:15 | pi_mal_Daumen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich sehe gerade, dass ich das wohl eher doch bei Hochschulalgebra hätte posten sollen. Wenn ein Mod das sieht, dann könnte er das ja gerne tun! Ich habe jetzt noch ein wenig gelesen. Das Minimalpolynom ist nun also das Polynom, welches die gleichen Nullstellen, aber den kleinsten Grad hat, richtig? Sofern meine Charakteristischen Polynome richtig sind (kann man das irgendwie kontrollieren?), dann müsste das doch eigentlich folgendes heissen: Bei der ersten Matrix ist das Minimalpolynom ist, da nicht mehr und nicht mehr Eigenwerte/Nullstellen sind. Kann man das so sagen? Muss ich das noch irgendwie rechnerisch nachweisen? Wie kann ich denn das ganze für die 2. Matrix sagen? Ich weiss gerade nicht, was die möglichen Kandidaten wären. |
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22.01.2008, 23:57 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wie gesagt bin ich mir beim Minimalpolynom nicht so sicher...würde aber so argumentieren: ist das Minimalpolynom für die Eigenwerte 1 und -1 weil es kein lineares Polynom geben kann, welches 2 ungleiche Nullstellen darstellen könnte Für die andere Matrix ist dann wohl das Minimalpolynom, weil es ja nur einen einzigen Eigenwert gibt und dieser somit auch "linear dargestellt" werden kann. Gruß Björn |
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23.01.2008, 16:49 | pi_mal_Daumen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So.. jetzt nochmal zu den Minimalpolynomen. Ich halte nochmal die char. Polynome fest: a) Das char. Pol. von ist b) Das char. Pol von ist Für das Minimalpolynom bei a) habe ich nun so argumentiert: Wenn ich für im möglichen Minimalpolynom die Matrix einsetze, so muss die Nullmatrix rauskommen. Für den möglichen Kandidaten heisst das: Somit ist das Minimalpolynom Ich denke, dass ich so richtig argumentiert habe. Bei b) will ich das nun analog machen, stosse aber auf ein kleines Problem: Wenn ich jetzt mein mögliches Minimalpolynom nehme (was es ja auch anschaulich eigentlich sein muss), so bekomme ich beim EInsetzen folgendes raus: Das gilt ja jetzt nur, wenn ist. Kann ich das denn einfach so annehmen, weil oben steht "für ein festes " ? Ich hoffe, dass das ansonsten so weit richtig ist. |
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23.01.2008, 20:30 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Bei (a) musst du noch den Kandidaten lambda + 1 untersuchen. Bei (b) musst du eine Fallunterscheidung fuer c machen. Im falle c = 1 hast du ja raus, dass das Minimalpolynom lambda - 1 ist. |
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23.01.2008, 20:48 | pi_mal_Daumen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hey WebFritzi! Wieso muss ich denn auch untersuchen? Muss ich nicht nur den verringerten Grad des char. Polynoms berücksichtigen? |
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23.01.2008, 21:28 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Eigentlich hättest du im Fall (a) gar nichts mehr untersuchen müssen, denn dein charakt. Pol. lautet Das heißt, dass A die beiden Eigenwerte 1 und -1 hat. Es kann daher gar nicht sein, dass A - 1 = 0 ist. Dann wäre A = E. Wie soll es da einen Eigenvektor zum Eigenwert -1 geben??? Aber WENN du schon untersuchst, ob A - 1 = 0 gilt, dann musst du auch auf den anderen Linearfaktor untersuchen, d.h., ob A + 1 = 0 gilt. |
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23.01.2008, 21:32 | pi_mal_Daumen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Aaaahhh... naklaro Danke!! Jetzt hab ich nur noch ne letzte Unsericherheit bei b) Also für habe ich das ja oben gezeigt. Kann es denn eigentich für ein anderes Minimalpolynom als geben? |
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23.01.2008, 21:43 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Setz doch mal A in ein und schau, ob es ein c gibt, so dass das Null ist. Ein bisschen stellst du dich aber auch an... |
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24.01.2008, 00:28 | pi_mal_Daumen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Jepp! Das kann man so sagen, dass ich mich heute (bzw. gestern) total blöd anstelle! Sorry! Wenn ich nun also A in einsetze, dann kommt da ja folgendes raus: Heisst das nun, dass dies das Minimalpolynom für ist? Das wäre ja nun für der Fall. Ich glaube irgendwas habe ich wirklich falsch oder nicht verstanden. Aber ich danke dir auf jedenfall schonmal herzlich für dein bzw. euern Support! |
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24.01.2008, 12:09 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Deine errechnete Matrix ist Null in den Fällen c = 1 und c = -1. Den Fall c = 1 hatten wir ja schon abgehakt. Dann ist 1 - A = 0, und es ist kein Wunder, dass dann auch (1 - A)² = 0 gilt. Nun hast du festgestellt, dass (1 - A)² auch im Fall c = -1 Null ist. Was ist also das Minimalpolynom im Fall c = -1? |
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24.01.2008, 13:33 | pi_mal_Daumen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also ist mein Minimalpolynom für den Fall
wenn ich mich nun nicht ganz irre! |
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