vollst. induktion

22.01.2008, 21:41

moonsymmetry

vollst. induktion

Hallo okay. wieder mal ne vollst. induktion...

$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8) ... (1+x^{2^n}) = \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x \in \mathbb R , x \neq 1) \end{eqnarray*}$ für alle n E N

Induktionsanfangt: n = 1;

$\begin{eqnarray*} (1+x) = \frac{1-x^{2^2}}{1-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+x) = \frac{1-x^4}{1-x} \end{eqnarray*}$
????
das haut ja hier schon nicht hin.. :/

22.01.2008, 21:46

tmo

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für n = 1 ist die linke seite $\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x^2) \end{eqnarray*}$

22.01.2008, 22:00

moonsymmetry

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re
oooohh ja natürlich . .nagut .. dann geht sichs schön aus.....

für n = 1:

15 = 15

okay dann mal weiter

Induktionsvoraussetzung:
$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x^2)....(1+x^{2^n})(1+x^{2^{n+1}}) =\frac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} *(1+x^{2^{n+1}}) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x^{2^{n+1}}*(1+x^{2^{n+1}})}{1-x} \end{eqnarray*}$

stimmts bis hierher?
was kann ich jetzt tun?

22.01.2008, 23:17

moonsymmetry

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..
kann das stimmen?

22.01.2008, 23:46

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von moonsymmetry
für n = 1:

15 = 15

Was soll denn diese Gleichung aussagen?

Zitat:

Original von moonsymmetry
Induktionsvoraussetzung:
$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x^2)....(1+x^{2^n})(1+x^{2^{n+1}}) =\frac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x} \end{eqnarray*}$

So wie du den Induktionsschritt vollführen willst, ist das die Induktionsbehauptung und nicht die Voraussetzung. Also ordne dich erstmal neu.

23.01.2008, 16:12

moonsymmetry

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ok
INDUKTIONSBEHAUPTUNG:

$\begin{eqnarray*} (1+x)(1+x^2)....(1+x^{2^n})(1+x^{2^{n+1}}) =\frac{1-x^{2^{n+2}}}{1-x} \end{eqnarray*}$

INDUKTIONSSCHRITT:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} *(1+x^{2^{n+1}}) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x^{2^{n+1}}*(1+x^{2^{n+1}})}{1-x} \end{eqnarray*}$

ist das in irgendeiner form richtig? hmm was könnte man da weiter machen?

lg

24.01.2008, 19:16

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von moonsymmetry
$\begin{eqnarray*} \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} *(1+x^{2^{n+1}}) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x^{2^{n+1}}*(1+x^{2^{n+1}})}{1-x} \end{eqnarray*}$

ist das in irgendeiner form richtig?

Naja so würde ich das nicht bezeichnen. Bis auf fehlende Klammern ist es zwar richtig, aber Klammern sollte man natürlich schon setzen ...

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(1-x^{2^{n+1}}\right)\cdot\left(1+x^{2^{n+1}}\right)}{1-x} \end{eqnarray*}$ .

Und dann beachte $\begin{eqnarray*} (1-a)(1+a)=1-a^2 \end{eqnarray*}$ .

24.01.2008, 19:51

moonsymmetry

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dankeschön smile

habs dann mal Augenzwinkern

25.01.2008, 19:28

WebFritzi

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Die Induktionsbehauptung ist nicht so wichtig. Wichtig ist die INDUKTIONSVORAUSSETZUNG. Die solltest du hinschreiben.

Wenn du die Loesung hast, dann poste sie auch bitte hier rein. Danke.

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