Zu Zeigen dass die Umkehrfunktion gilt

06.07.2005, 16:38

brunsi

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Zu Zeigen dass die Umkehrfunktion gilt

Hi, also ich soll nur zeigen, dass es zu folgender Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(\frac{4}{x}-1) \end{eqnarray*}$ ein Umkehrfunktion gibt, die so aussieht:

$\begin{eqnarray*} g(x)=4-\frac{4e^x}{1+e^x} \end{eqnarray*}$

so ich hab das ganze jetzt erst mal rückwärts gerechnet, also von g(x) ausgehen versucht f(x) zu erzeugen.

da war dann einer meiner zwischenschritte:

$\begin{eqnarray*} -y+4-e^x*y+4e^x=4e^x \end{eqnarray*}$

ich möchte jetzt wissen, ob man die summanden mit $\begin{eqnarray*} 4e^x \end{eqnarray*}$ einfach dazu ergänzt hat um diese funktion zu erzeugen. oder ob man sie auch wenn man von f(x) ausgeht und dann die Umkehrfunktion bildet, erzeugen kann?

gruß dennis

06.07.2005, 16:46

babelfish

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könntest du vielleicht grad mal deine zwischenschritte posten? ich komm da irgendwie grad nich mit... verwirrt

verwirrt

p.s.: wärs nich einfacher f(x) umzuformen? hab das mal gemacht... geht eigentlich ganz flott! Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.07.2005, 16:52

zoiX

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Hm...ich hab das gerade nachgerechnet, und hab irgendwo nen Fehler...

Mein Ansatz war y und x zu vertauschen und dann nach x aufzulösen (ganz oldschool, frei nach 9te Klasse Big Laugh

Big Laugh

)

$\begin{eqnarray*} x = ln(\frac{4}{y} - 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x = \frac{4}{y} - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ye^x = 4 - y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ye^x + y = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(e^x + 1) = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{4}{e^x + 1} \end{eqnarray*}$

Wo steckt da mein Rechenfehler?!

06.07.2005, 16:54

Leopold

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Nirgendwo. Das ist richtig (nur etwas umständlich gerechnet).

06.07.2005, 16:55

lego

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quote statt edit erwischt, sry

06.07.2005, 16:56

lego

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Zitat:

Original von lego
dein fehler steckt nirgends, weil dein ergebnis stimmt:

$\begin{eqnarray*} 4/(e^x+1)=4-4e^x/(e^x+1) \end{eqnarray*}$

nur ist links das ergebnis auf einen nenner gebracht.

edit: argh, zu langsam!

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06.07.2005, 16:56

zoiX

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argh....im vorgegebenen Ergebnis das 4- vorm Bruch übersehen *murmel*

Edit: Wieso umständlich gerechnet? Wo gehts einfacher? *neugier*

06.07.2005, 16:57

babelfish

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RE: Zu Zeigen dass die Umkehrfunktion gilt
nirgends, weil:

$\begin{eqnarray*} g(x)=4-\frac{4e^x}{1+e^x} = \frac{4*(1+e^x)}{1+e^x}-\frac{4e^x}{1+e^x} = \frac{4+4e^x}{1+e^x}-\frac{4e^x}{1+e^x}=\frac{4+4e^x-4e^x}{1+e^x}=\frac{4}{1+e^x} \end{eqnarray*}$

/edit: uups, da war ich wohl mim latex en bisschen langsam! Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.07.2005, 16:58

lego

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nu wissen wirs aber^^

06.07.2005, 16:59

zoiX

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Es reicht, ich weiß, dass ich keinen Fehler gemacht habt - hört auf auf mich einzuprügeln Big Laugh

Big Laugh

06.07.2005, 17:48

brunsi

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@babelfish und alle anderen: sehr shcön was ihr da gerechnet habt, doch leider nicht verlangt.

ich gehe ja von dieser Funktion aus:
$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(\frac{4}{x}-1) \end{eqnarray*}$ zu der ich die Umkehrfunktion
$\begin{eqnarray*} g(x)=4-\frac{4e^x}{1+e^x} \end{eqnarray*}$ bestimmen soll.

also erst einmal ganz normal die Umkehrfunktion zu f(x) bestimmen:

$\begin{eqnarray*} e^y=\frac{4}{x}-1 \end{eqnarray*}$

so dann habe ich ein bissl umgeformt udn erhalte:

$\begin{eqnarray*} (e^y+1)*x=4 \end{eqnarray*}$

dann durch den term der kalmmer dividert ergibt:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{4}{e^y+1} \end{eqnarray*}$

variablen vertauscht:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{4}{e^x+1} \end{eqnarray*}$ so das ist dann die Umkehrfunktion auf dem normalen wege gebildet.

jetzt versuche ich mal von der Umkehrfunktion g(x) die Ausgangsfunktion zu erzeugen:

$\begin{eqnarray*} y=4-\frac{4e^x}{1+e^x} \end{eqnarray*}$

wieder ein wenig umgeformt:

$\begin{eqnarray*} y-4=-\frac{4e^x}{1+e^x} \end{eqnarray*}$

so das mit $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ multipliziert ergibt:

$\begin{eqnarray*} -y+4=\frac{4e^x}{1+e^x} \end{eqnarray*}$

so dann den bruch rechts aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} (-y+4)(1+e^x)=4e^x \end{eqnarray*}$

linke seite ausmultipliziert und dann rechts eine null erzeugt:

$\begin{eqnarray*} -y+4-e^x*y+4e^x-4e^x=0 \end{eqnarray*}$ <---Schritt S ????

daraus ergibt sich dann ja:

$\begin{eqnarray*} -y+4=e^x*y \end{eqnarray*}$

so dann nach x aufgelöst ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{y}-1=e^x \end{eqnarray*}$

dann den ln davon gebildet, Variablen vertauscht und f(x) steht wieder da:

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{4}{x}-1)=y \end{eqnarray*}$

so und jetzt muss ich das ja über f(x) g(x) erzeugen.

da ist jetzt meine frage (s.Schritt S):

darf ich einfach das $\begin{eqnarray*} 4e^x-4e^x \end{eqnarray*}$ da einsetzen? ich meine ja den term verändere ich ja nicht.

edit:/-Ergänzt

edit2: x-ergänzt

06.07.2005, 17:52

zoiX

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Ich weiß nicht, was du da mit "einsetzen" meinst...

Aus deinem Schritt entsteht das $\begin{eqnarray*} 4e^x - 4e^x \end{eqnarray*}$ doch durch ausmultiplizieren von $\begin{eqnarray*} (-y+4)(1+e^x) - 4e^x = 0 \end{eqnarray*}$ von ganz alleine - ohne, dass du das da "einsetzt"

Folglich ist die Sache absolut "legitim" meiner Meinung nach. Aber vllt. hab ich dich falsch verstanden...

06.07.2005, 18:19

Leopold

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Wie kann man nur aus solch einer Trivialität

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{e^x+1} = 4-\frac{4e^x}{1+e^x} \end{eqnarray*}$

ein derartiges Ungetüm

Zitat:

Original von brunsi
@babelfish und alle anderen: sehr shcön was ihr da gerechnet habt, doch leider nicht verlangt.

ich gehe ja von dieser Funktion aus:
$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(\frac{4}{x}-1) \end{eqnarray*}$ zu der ich die Umkehrfunktion
$\begin{eqnarray*} g(x)=4-\frac{4e^x}{1+e^x} \end{eqnarray*}$ bestimmen soll.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

erzeugen?

unglücklich

06.07.2005, 18:26

brunsi

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das kann ich dir sagen LEopold!!

Indem die aufgabenstellung das verlangt.

06.07.2005, 18:30

AD

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Verlangt die Aufgabenstellung, eine Mücke zum Elefanten aufzublasen??? Sicher nicht.

06.07.2005, 18:34

Leopold

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$\begin{eqnarray*} a - \frac{ab}{b+1} = \frac{a}{b+1} \end{eqnarray*}$
nach den Regeln der elementaren Bruchrechnung (Hauptnenner, Zähler addieren usw.)

06.07.2005, 18:59

babelfish

Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie weiß ich immer noch nicht, was genau dein problem ist, brunsi... verwirrt

verwirrt

ist doch alles okay so, wie du's gemacht hast!

06.07.2005, 19:21

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

ja meine frage ist ja bloß bei der zeile die ich mit "Schritt S" gekennzeichnet habe, ob ich einfach das was ergänzen darf ohne die funktion zu änder.

@Arthur und Leopold:

das sind zwei aufgaben teile.

1.von f(x) bin ich nach g(x) gegangen
2.von g(x) habe ich die Umkehrfunktion f(x) gebildet.

das ist die mücke die den elefanten sticht!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Big Laugh

das eine sollte nur eine überprüfung des anderen weges sein. wollte schauen, ob ich richtig gerechnet habe.

06.07.2005, 19:48

babelfish

Auf diesen Beitrag antworten »

du hast doch bei schritt s überhaupt nichts ergänzt?! ist doch alles nur ne ganz normale umformung gewesen! vollkommen in ordnung so...
falls du noch was ergänzen wollen würdest (was aber auch irgendwie keinen sinn haben würde...), müsstest du's natürlich auf beiden seiten gleichermaßen tun...

06.07.2005, 19:51

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

ja dieser SChritt S ist ja bei der rechnung von der Umkehrfunktion g(x) auf f(x) .

jetzt würde ich gerne wissen, wie ich auf diesens chritt komme, wenn ich von der Ausgangsfunktion f(x) die Umkehrfunktion bilde??

da muss ich dann doch 4e^x-4e^x ergänzen??

06.07.2005, 19:55

Leopold

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Die Gleichheitsrelation ist symmetrisch.

06.07.2005, 19:58

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

aja, dass heißt also ich muss das nur einmal auf einer seite ergänzen und dann kann ich die umformung durchführen?

06.07.2005, 20:01

Leopold

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Nein, das heißt nur: Um $\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$ zu beweisen, kann man ebensogut $\begin{eqnarray*} B = A \end{eqnarray*}$ beweisen. Man muß also nicht den einfachen Term ( $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ) verkomplizieren ( $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ), man kann oft einfacher den komplizierten Term ( $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ) vereinfachen ( $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ).

06.07.2005, 20:04

brunsi

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achso, dann muss ich also gar nicht von f(x) nach g(x), sondern kann einfach umgekehrt vorgehen, dass ich g(x) nach f(x) umforme!!?!!

danke schön!!

06.07.2005, 20:16

zoiX

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Hauptsache, du zeigst, das du aus dem einen das andere machen kannst - richtig.

06.07.2005, 20:18

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

nein so egal ist das nicht, denn wenn die aufgabenstellung sagt, zeige das f(x)=g(x) gilt dann kannst du nicht zeigen das g(x)=f(x) ist.

das ist jetzt nur ein sehr abstraktes beispiel gewesen.

06.07.2005, 20:22

Leopold

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Doch.
Du hast noch nicht richtig verstanden, was Gleichheit bedeutet. Ob du eine Gleichung von links oder von rechts liest, ist völlig egal. Du scheinst mir ein Nur-Links-Leser zu sein. Am besten gleich abgewöhnen.

06.07.2005, 20:23

zoiX

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich behaupte mal, dass DAS stark vom Beurteilenden abhängt...

Denn wenn ich zeige, dass ich durch (einfache) Umformungen aus A B machen kann, dann ist damit bewiesen, dass ich durch die Umkehrungen dieser Umformumgen aus B A machen kann.

Ober hab ich was übersehen?

Edit: Ich arme, kleine, natürliche Zahl sollte schneller tippen

06.07.2005, 22:03

brunsi

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bin ein linksleser, aber wenn vond er aufgabenstellung kalr formuliert ist, dass man durch f(x) zeigen soll das g(x) gilt. dann habe ich keine andere wahl als das so zu machen. und so ist das in diesem falle auch.

andernfalls würde da nur stehen, zeige das gilt: g(x)=....

dann ist das sicherlich möglich auch den anderen weg zu gehen. aber hier nun mal nicht.

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