Aufgabe: Ebene - Normalenvektor - Punktspiegelung

26.01.2008, 14:08

SkYfiGhTeR

Aufgabe: Ebene - Normalenvektor - Punktspiegelung

Hallo,

ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe, welche ich bereits weitestgehend gelöst habe.

Die Aufgabe:

Zu betrachten ist die Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ durch die Punkte $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

a) Geben Sie eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} \alpha x_{1} + \beta x_{2} + \gamma x_{3} + \delta = 0 \end{eqnarray*}$ an, die von allen Punkten $\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ erfüllt wird.

b) gesucht ist ein Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ (d.h. seine Koordinatenspalte), der von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ aus auf den Ursprung zeigt.

c) $\begin{eqnarray*} O' \end{eqnarray*}$ seit der Punkt, der durch Spiegelung des Ursprungs $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ entsteht.
Geben Sie die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} O' \end{eqnarray*}$ an.

d) Geben Sie eine Berechnungsvorschrift an, die für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ des Raums die Koordinaten des an $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ gespiegelten Punkts $\begin{eqnarray*} X' \end{eqnarray*}$ ergibt!
Für welche Punkte ist $\begin{eqnarray*} X = X' \end{eqnarray*}$ ?

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Bisherige Lösungen:

a)

$\begin{eqnarray*} E = A + s* \vec{AB} + t* \vec{AC} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s* \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t* \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} + \frac{2}{3} x_{2} + x_{3} - 2 = 0 \end{eqnarray*}$

b)

Entweder über Vektorprodut, was ich jetzt nicht extra aufschreiben, aber da wir ja sowieso gerade die Koordinatenform der Ebene erstellt haben, können wir ja auch einfach hier den Normalenvektor ablesen:

$\begin{eqnarray*} \vec{n}[E] = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe wir also irgendeinen Normalenvektor, der ja nicht zwangsweise auf den Ursprung zeigt, wenn ich richtig liege (?).

D.h. wir müssen den Normalenvektor jetzt noch an den Ursprung anhängen.

Ich habe mir also überlegt, ich suche den Normalenvektor der vom Ursprung bis genau auf die Ebene zeigt (also dort auf einen Punkt):

$\begin{eqnarray*} P = \vec{0} + \lambda * \vec{n} = \lambda * \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => \lambda = \frac{3}{22} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P = \begin{pmatrix} \frac{9}{11} \\ \frac{6}{11} \\ \frac{9}{11} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c)

Nun soll der Ursprung an der Ebene gespiegelt werden. Da wir ja gerade den Punkt P auf der Ebene bestimmt haben (vom Ursprung aus, im rechten Winkel auf die Ebene (Normalenvektor)), könnten wir jetzt einfach unseren gefunden Punkt P mal zwei nehmen, um den gespiegelten Punkt O' zu erhalten?!

Und bei Aufgabe d) habe ich bisher noch gar keine wirkliche Idee zur Vorgehensweise...

Danke schon mal.

26.01.2008, 14:59

ushi

Aufgabe: Ebene - Normalenvektor - Punktspiegelung

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