Algebra Satz

26.01.2008, 20:48

opengl_noob

Algebra Satz

Hänge grad am Nachvollziehen eines Satzes.
Der Satz stammt aus dem Buch 'Algebraic Geometry' von Hartshorne.
Findet man auch bei google-Büchersuche.
Auf Seite 3, Proposition 1.2.
Ich erklärs aber kurz was drinsteht...

Sachen die er im Satz verwendet:
affiner Raum A^n, Polynomring A, Nullstellenmenge eines Polynoms f ist Z(f), Ideal eines Rings R ist I(R).
Wird aber am Kapitelanfang nochmal kurz erklärt.

Hab den Satz übersetzt und angehängt.

Beim Beweis schreibt Hartshorne, dass a),b),c) klar sind.
a) konnte ich nachvollziehen, da bei einer Polynommenge die Nullstellenmenge ja aus den Punkten besteht die alle Polynome 0 setzen.
Also hat man bei der Nullstellenmenge vieler Polynome quasi den Schnitt der Nullstellenmengen, was weniger ist als der Schnitt von Nullstellenmengen weniger Polynome.
Aber b) und c) kann ich nicht nachvollziehen.
Bei b) hatte ich mir anschaulich die 1-und 2dimensionalen reellen Vektorräume vorgestellt.
Und da die trivialen Ideale eines Rings R stets {0} und R selbst sind,
hab ich ich I(R)=R und I(R^2)=R^2 genommen.
Aber R^2 ist ja keine Teilmenge von R.
Bei c) hab ich auch R genommen und bin gescheitert. verwirrt

Kann mir da bitte jemand weiterhelfen!?

26.01.2008, 21:14

therisen

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b) ist doch wirklich offensichtlich: Sei $\begin{eqnarray*} f\in I(Y_2) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} f(P)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} P\in Y_2 \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} Y_1\subseteq Y_2 \end{eqnarray*}$ gilt also erst recht $\begin{eqnarray*} f(P)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} P\in Y_1 \end{eqnarray*}$ . Das heißt aber nichts anderes als $\begin{eqnarray*} f\in I(Y_1) \end{eqnarray*}$ . Das zeigt $\begin{eqnarray*} I(Y_2)\subseteq I(Y_1) \end{eqnarray*}$ .

27.01.2008, 02:31

opengl_noob

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Achso, du gingst von dem Ideal definiert in der vorherigen Definition im Buch aus (und Hartshorne offensichtlich auch).
Warum auch immer er das macht geschockt

Bei "normalen" Idealen dürften a) und b) nicht gelten, oder?

Dann ist die Sache klar.
Hab mich mal an c) versucht, siehe Anhang.
Weiss nich wie man hier Mengensymbole einfügt Augenzwinkern

27.01.2008, 13:46

therisen

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Zitat:

Original von opengl_noob
Achso, du gingst von dem Ideal definiert in der vorherigen Definition im Buch aus (und Hartshorne offensichtlich auch).

Schon komisch, dass sich der Autor auf die Definitionen, die er einführt, bezieht ROFL

Bei c) hast du bisher nur $\begin{eqnarray*} I(Y_1\cup Y_2)\subseteq I(Y_1)\cap I(Y_2) \end{eqnarray*}$ gezeigt. Die umgekehrte Inklusion ist aber trivial.

28.01.2008, 15:40

opengl_noob

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Jo ich ging halt einfach mal von einem Standard-Ideal aus.
Die vorherige Definition hatte ich ausgelassen weil sie mir unwichtig erschien.
Tja, falsch gedacht Augenzwinkern

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