Erzeugung von Zufallszahlen m. Exponentialvert.

10.07.2005, 23:53

martin19

Erzeugung von Zufallszahlen m. Exponentialvert.

Servus,
habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Mit den unten angegebenen Zufallszahlen X mit glm. Verteilung in [0;1] sollen Zufallszahlen Y mit Exponentialvert. mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ erzeugt werden.

X: 0.42665 0.09484 0.81604 0.30445 0.13825 0.90151 0.69250 0.73509

Wie gehe ich da vor? Muss ich zunächst die Dichtefkt. d. Exponentialvert. ableiten und das Maximum (obere Grenze c) finden? Wie leite ich die Dichtefkt ab?

f(x) = $\begin{eqnarray*} \lambda * e^{-\lambda * x} \end{eqnarray*}$
f'(x) = $\begin{eqnarray*} - \lambda^2 * e^{-\lambda * x} \end{eqnarray*}$

Grüße martin

11.07.2005, 00:15

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Inversionsmethode
Am besten nutzt du dazu die Inversionsmethode, wie in der Anfrage

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=19218

beschrieben. Hier nun ist

$\begin{eqnarray*} F(x)=1-e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$ für x>0.

Also ist

$\begin{eqnarray*} F^{-1}(u)=-\frac{1}{\lambda}\ln(1-u) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<u<1 \end{eqnarray*}$ .

Ist nun $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gleichverteilt in [0,1], so ist $\begin{eqnarray*} F^{-1}(U) \end{eqnarray*}$ exponentialverteilt mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

11.07.2005, 09:50

martin19

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RE: Inversionsmethode
Danke Arthur,

hab deine Methode mal versucht und folgendes raus:

-> F(t) invertiert: Y = [lambda] \frac{1}{-\lambda}* ln (1-x) [/lambda]
-> Y1 = -2,781
-> Y2 = -0,498
-> Y3 = -8,465
...
...
Stimmen die Formel und die Werte?

11.07.2005, 10:37

martin19

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RE: Inversionsmethode
Ups, vor lauter Lamda. So ist es richtig:

-> F(t) invertiert: Y = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{-\lambda}* ln (1-x) \end{eqnarray*}$
-> Y1 = -2,781
-> Y2 = -0,498
-> Y3 = -8,465

11.07.2005, 11:11

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RE: Inversionsmethode
Vorzeichenfehler bei den Y-Werten: Du hast das "-" vergessen anzuwenden. Der Logarithmus $\begin{eqnarray*} \ln(1-u) \end{eqnarray*}$ ist grundsätzlich negativ, durch den negativen Vorfaktor $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ wird dann der Y-Wert aber positiv, wie es sich für exponentialverteilte Größen auch gehört!

11.07.2005, 11:35

martin19

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RE: Inversionsmethode
Nochmals danke Arthur,

hab das Vozeichen übersehen. Also die gleichen Werte, nur positiv, wären dann richtig???

Gruß Martin

11.07.2005, 11:51

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Ja, ist eine Möglichkeit (unter vielen), aus [0,1]-gleichverteilten Zufallszahlen exponentialverteilte Zufallszahlen zu machen.

11.07.2005, 16:38

martin19

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RE: Inversionsmethode
Habe die gleiche Aufgabe nochmal, nur mit der Erlangverteilung ( $\begin{eqnarray*} k=2, \lambda = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ und Zuf.Zahlen X wie oben). Habe bislang folgendes raus (für k = 2) :

$\begin{eqnarray*} F(t) = 1 - e^{-\lambda * y } * ( 1 + \lambda * y ) \end{eqnarray*}$

Hänge aber beim invertieren fest (vorrausgesetzt die obere Formel stimmt):
$\begin{eqnarray*} ln (x-1) = \lambda * y + \lambda^2 * y^2 \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich net, wie ich das y alleine kriegen kann.
Hat jemand evt. nen Tipp???

11.07.2005, 16:45

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Erstens hast du dich beim Umstellen vertan.

Zweitens: Mit Invertieren wird hier nix, das ist hier nur mit numerischen Näherungsverfahren möglich.

Du könntest aber die Eigenschaft nutzen, dass die Summe von k unabhängen, mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ exponentialverteilten Zufallsgrößen erlangverteilt mit den Parametern $\begin{eqnarray*} (k,\lambda) \end{eqnarray*}$ ist.

Also würfle k-mal eine exponentialverteilte Zufallsgröße aus (siehe dein erstes Problem), und summiere diese k Werte - fertig!

11.07.2005, 17:12

martin19

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RE: Inversionsmethode
Hey Arthur,
könntest du deinen Vorschlag bitte etwas genauer erläutern? Was meinst du mit 'würfle k-mal eine exponentialverteilte Zufallsgröße aus (siehe dein erstes Problem), und summiere diese k Werte'? Ich steh leider auf dem Schlauch...
verwirrt

11.07.2005, 17:42

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Du könntest aber die Eigenschaft nutzen, dass die Summe von k unabhängen, mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ exponentialverteilten Zufallsgrößen erlangverteilt mit den Parametern $\begin{eqnarray*} (k,\lambda) \end{eqnarray*}$ ist.

Genügt das nicht als Rechtfertigung? Wenn ihr die Erlangverteilung kennengelernt habt, dann doch bestimmt auch diese Eigenschaft!

11.07.2005, 20:49

martin19

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RE: Inversionsmethode
Keine Ahnung, ich find zu diesem Thema leider nix in meinen Unterlagen...

11.07.2005, 20:56

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Dann muss eben die Wikipedia genügen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Erlangverteilung

Im 3.Absatz steht die von mir erwähnte Summeneigenschaft.

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