Zusammenhang Skalarprodukt - Kosinussatz

11.07.2005, 00:22

r4_f6

Zusammenhang Skalarprodukt - Kosinussatz

Hallo,

für eine Prüfung/Präsentation in naher Zukunft versuche ich folgenden Zusammenhang zu ergründen:
Den Winkel zwischen zwei Vektoren in R3 bestimmt man mittels des Skalarprodukts:
$\begin{eqnarray*} (1) \quad cos \gamma = \frac{<v,w>}{|v| |w|} \end{eqnarray*}$

Ich habe dies nun versucht durch geometrische Mittel nachzuvollziehen.

Um den Winkel der Vektoren zur xz-Ebene zu bestimmen nehme ich den Kosinussatz
$\begin{eqnarray*} (2) \quad cos \alpha = \frac{v^2 + h^2 - b^2}{2vh} \quad cos \beta = \frac{w^2 + g^2 - e^2}{2wg} \end{eqnarray*}$
Setze ich nun konkrete Werte ein, rechne die Winkel mittels (2) aus und bestimme dann die Differenz erhalte ich dasselbe Ergebnis wie mit (1).
So soll das natürlich auch sein, aber warum???

Wie komme ich von (2) zu (1) bzw. umgekehrt?
Habe seitenweise umformungen aber keine lösung ;-(((
Hat da jemand eine Idee?

Schöne Grüsse
Anna

11.07.2005, 00:34

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In Vektorschreibweise:

$\begin{eqnarray*} (v-w)^2=v^2-2\langle v,w\rangle+w^2 \end{eqnarray*}$

Die Quadrate entsprechen den Quadraten der Vektorlängen. Also kann man umstellen:

$\begin{eqnarray*} \langle v,w\rangle = \frac{1}{2}(v^2+w^2-(v-w)^2) = \frac{1}{2}(|v|^2+|w|^2-|v-w|^2) \end{eqnarray*}$

Alles klar? Wink

11.07.2005, 02:03

r4_f6

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danke für die fixe Antwort!
"alles klar?" - nein, leider gar nicht ...

Aber eigentlich ist mir auch nicht so recht klar was ich da überhaupt tue:
Versuche ich mittels des Kosinussatzes in R2 zu zeigen das der Satz auch in R3 gilt???
Ursprünglich darauf gekommen bin ich weil ich zu verstehen versuchte warum die Länge eines Vektors in R3 eigentlich die Wurzel der quadrierten Komponenten ist ...

Ich sollte vielleicht erwähnen, daß meine letzte Matheveranstaltung so an die drei Jahre her ..
Also ich dachte ich suche irgendwas, daß mir zeigt daß
$\begin{eqnarray*} \frac{v^2 + h^2 -b^2}{2vh} - \frac{w^2 + g^2 -e^2}{2wg}= \frac{<v,w>}{|v||w|} \end{eqnarray*}$
gilt...(weil ich genau das anhand von Beispielzahlen nachrechnen kann)
Weiterhin entnehme ich meinen Zeichnungen
$\begin{eqnarray*} v = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 } \quad h = \sqrt{a^2 + c^2} \text{ und } w = \sqrt{d^2 + e^2 + f^2 } \quad g = \sqrt{d^2 + f^2} \end{eqnarray*}$

Wo ich deine Gleichungen da verwenden kann wird mir leider absolut nicht ersichtlich ..-(((
Kannst du vielleicht nochmal genauer beschreiben was du meinst?

schöne grüsse
anna

11.07.2005, 06:59

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Ach, das habe ich missverstanden: Du willst $\begin{eqnarray*} \cos\alpha-\cos\beta=\cos\gamma \end{eqnarray*}$ nachweisen???

Da kannst du dich lange abmühen, das ist nämlich i.a. falsch - falscher geht's nicht: Nimm das Beispiel v=w (auch im vektoriellen Sinne) mit b=e=0. Dann ist

$\begin{eqnarray*} \alpha=\beta=\gamma=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \cos\alpha-\cos\beta=1-1=0\neq 1=\cos\gamma \end{eqnarray*}$ .

Was soll das denn ausgerechnet für ein Beispiel sein, wo das zufällig klappt? Vielleicht hast du eine entscheidende Zusatzvoraussetzung für die Lage deiner Vektoren vergessen? verwirrt

11.07.2005, 17:35

r4_f6

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ich hatte eigentlich auch so gemeint:
$\begin{eqnarray*} cos \beta = 1 \Rightarrow \beta = 0;\\ cos \alpha= 1 \Rightarrow \alpha = 0;\\cos \gamma = 1 \Rightarrow \gamma = 0\\\text{und } 0 - 0 = 0 \end{eqnarray*}$
Bei einigen anderen Beispielen kommt das auch hin, z.B. (5,3,2) und (5,5,2) oder auch (1,2,3) und (-1,-2,-3).
Aber im allgemeinen hast du recht: das passt nicht..
Aber ich verstehe nicht warum:
wenn man doch mit (1) den Winkel zwischen v und w bestimmen kann,
und (2) jeweils den Winkel von v bzw. w zur xz-Ebene bestimmt
mußte doch die Differenz dem Ergebnis aus (1) entsprechen???

LG
Anna

11.07.2005, 17:48

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Das ist eine Logik nach dem Motto:

"Seht her, ich habe hier ein Dreieck, bei dem alle Seitenlängen gleichlang sind. Also sind alle Dreiecke gleichseitig."

Verabschiede dich von dieser Winkeldifferenzgeschichte, die ist einfach i.a. falsch. Für ganz speziell gewählte Beispiele mag es stimmen, aber was soll das bringen?

11.07.2005, 18:06

r4_f6

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ich dachte mir (1) so irgendwie veranschaulichen zu können ...
Wie gesagt sind dies meine ersten mathematischen Versuche seit langem ... bleibt nicht aus, daß ich mich hier und da verrenne..
Bin auf der Suche nach einem Thema für eine Prüfungspräsentation, die im weitesten Sinne Lagebeziehungen im R3 behandeln soll.
Jetzt weiß ich aber zumindest daß diese Geschichte so wie ich sie mir vorgestellt hatte eine Sackgasse ist :-)

Danke und liebe Grüsse
Anna

11.07.2005, 18:29

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Und mir schwant allmählich, was du meinst: Falls a=d und c=f (oder zumindest a=k*d und c=k*f mit demselben positiven Faktor k), d.h., die Orstvektoren v und w bei Projektion in die x-y-Ebene in dieselbe Richtung zeigen, dann gilt tatsächlich $\begin{eqnarray*} \gamma=|\alpha-\beta| \end{eqnarray*}$ . Das ist aber schon eine sehr spezielle Situtation, die du in deinen Skizzen oben so nicht dargestellt hast!

11.07.2005, 18:38

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Also sind alle Dreiecke gleichseitig.

Und hier der Klassiker.

11.07.2005, 18:42

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Der gehört unbedingt hier rein:

http://kamelopedia.mormo.org/index.php/Beweis

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