Flächeninhalt im Dreieick

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11.07.2005, 20:51	conny108	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt im Dreieick Hallo Leute, ich bin ziemlich verzweifelt ich habe eine Aufgabe und find keine Ansätze. Aufgabe: Sei r Radius des Inkreises und R Radius des Umkreises eines Dreiecks mit Umfang U uns Seitenlängen a,b,c. Zeigen Sie: F (Dreieck) = rU / 2 = abc / 4R Habe keine Ahnung, die einzelnen Bestandteile sind bereits bewiesen und eine Konstruktion habe ich auch schon. aber keine Ahnung wie ich diesen Zusammenhang beweisen soll. Danke für eure Hilfe.
11.07.2005, 22:19	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt im Dreieick 1.teil: bilde die summe der 3 dreiecke mit z.b. c als grundlinie und r als höhe: F1 = 1/2cr und addieren 2. teil: F = 1/2cbsin(alpha) (h = bsin(alpha) und R = a/(2sin(alpha))(faßkreis) eingesetzt ergibt dein resultat werner
11.07.2005, 22:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Gleichung (mit dem Inkreisradius) ist einfach zu beweisen. Zeichne vom Inkreismittelpunkt des Dreiecks Strecken zu den Eckpunkten des Dreiecks. Dadurch zerfällt das Dreieck in drei Teile, in deren jedem der Inkreisradius die Höhe auf eine Seite ist. Addiere die drei Flächeninhalte zum Flächeninhalt des Dreiecks auf. Die zweite Gleichung (mit dem Umkreisradius) ist etwas schwieriger. Zeichne im Umkreis des Dreiecks ABC einen Durchmesser mit dem Endpunkt C. Der zweite Endpunkt sei E. Ferner sei D der Fußpunkt der Höhe h von C auf die Seite AB. Die Dreiecke ADC und CEB sind dann ähnlich. Sie sind nämlich rechtwinklig (Höhe bzw. Satz des Thales) und die Winkel bei A bzw. E stimmen überein (Umfangswinkel bezüglich CB). Aus der Ähnlichkeit kannst du eine Beziehung zwischen den Seiten a,b des Dreiecks, dem Umkreisradius R und der Höhe h herleiten. Indem du diese zu Hilfe nimmst, kannst du die gesuchte Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks entwickeln.
11.07.2005, 22:31	conny108	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt im Dreieick Hallo Wernerrin, ich weiß nicht ob ich total verblöded bin aber sind die drei Dreiecke die die durch die Höhen ha, hb und hc entstehen ? Und was ist eine Fasskreis ist das der Umkreis des Dreiecks ? Danke dir.
11.07.2005, 22:59	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt im Dreieick schau mal hier werner
11.07.2005, 23:06	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt im Dreieick zum umkreis $\begin{eqnarray} F=\frac{1}{2} c \cdot h_c= \frac{1}{2} c\cdot b\cdot sin\alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} sin \alpha =\frac{a}{2R} \end{eqnarray}$ einsetzen werner
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11.07.2005, 23:17	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist irgendwie seltsam: Der Sinussatz wird in den Schulen bis zum Erbrechen durchgekaut $\begin{eqnarray} \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} \end{eqnarray}$ , aber wie's aussieht selten in der "vollständigeren" Form $\begin{eqnarray} \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R \end{eqnarray}$ .
12.07.2005, 07:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
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12.07.2005, 14:05	conny108	Auf diesen Beitrag antworten »
gleichseitiges Dreieck Danke euch ihr habt mir sehr geholfen, bei mir ist jetzt alles klar. Ich habe aber noch eine Frage ich muss zeigen, dass unter allen Dreiecken mit gegebenen Umfang das gleichseitige den größten Flächeninhalt hat. Dies soll über die Heronsche Formal geschehen vol (ABC) =( p (p-a)(p-b)(p-c) ) daraus die Wurzel Ich habe die Formel bewiesen und ich habe einige Ideen dazu und zwar dachte ich es geht über die einzelnen Höhen im Dreieck. Außerdem habe x1x2x3 kleiner gleich (x1 + x2 + x3 / 3) ³ habe dann gesagt, dass x1 = x2 = x3 gelten muss damit gilt p-a = p-b = p-c d.h. a = b = c Der flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seitenlangen a,b,c kann abgeschätz werden durch vol (ABC) kleiner gleich 1/ 3 Wurzel aus 3 (a+b+c/ 2)² Gleichheit tritt dann auf und nur dann wenn das Deieck gleichseitig íst. Lemma: (Lösung des isoperimetrischen Problems für Dreiecke) Unter allen Dreicken mit vorgegebenen Umfang hat das gleichseitige Dreieck den größten Flächeninhalt. Ich wollte das irgendwie als Datei anhängen finde aber keinen link dazu. Und auch mit der richtigen Formeldarstellung habe ich ein Problem Danke das ihr euch das anschaut.

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