größter Flächeninhalt hat gleichseitiges Dreieck |
| 12.07.2005, 19:07 | conny108 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| größter Flächeninhalt hat gleichseitiges Dreieck vol (ABC) =( p (p-a)(p-b)(p-c) ) daraus die Wurzel Ich habe die Formel bewiesen und ich habe einige Ideen dazu und zwar dachte ich es geht über die einzelnen Höhen im Dreieck. Außerdem habe x1x2x3 kleiner gleich (x1 + x2 + x3 / 3) ³ habe dann gesagt, dass x1 = x2 = x3 gelten muss damit gilt p-a = p-b = p-c d.h. a = b = c Der flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seitenlangen a,b,c kann abgeschätz werden durch vol (ABC) kleiner gleich 1/ 3 Wurzel aus 3 (a+b+c/ 2)² Gleichheit tritt dann auf und nur dann wenn das Deieck gleichseitig íst. Lemma: (Lösung des isoperimetrischen Problems für Dreiecke) Unter allen Dreicken mit vorgegebenen Umfang hat das gleichseitige Dreieck den größten Flächeninhalt. Ich wollte das irgendwie als Datei anhängen finde aber keinen link dazu. Und auch mit der richtigen Formeldarstellung habe ich ein Problem Danke das ihr euch das anschaut. |
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| 12.07.2005, 19:18 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also hier erst mal noch mal die Heronsche Formel mit Nun soll man das ganze für einen festen Umfang maximieren. Erst mal ist klar, dass man dafür maximieren muss und da s festgelegt ist nur noch Ich würde hier jedoch den Umweg über das geometrische und arithmetische Mittel machen (Argumentation ist nicht so schwierig) Dabei gilt nun das geometrische Mittel ist kleiner oder gleich dem arithmetischen und genau dann gleich wenn alle Werte gleich sind. Das arithetische Mittel ist fest, somit kann das geometrische Mittel maximal genauso groß sein und dass, wenn alle Werte gleich sind. Somit folgt dann q.e.d. Edit:Hab ein paar kleine Schreibfehler |
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| 12.07.2005, 19:27 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: größter Flächeninhalt hat gleichseitiges Dreieck
Genau das hat conny108 doch gemacht (wenn sie sich auch ein bißchen sibyllinisch ausgedrückt hat und ein paar Schreibfehler auftauchen, z.B. fehlende Klammern):
@ conny108 Und was ist nun deine Frage? |
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| 12.07.2005, 19:28 | conny108 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich habe die aritmetrischen und geometrischen Mittel folgendermaßen angewandt ha = 2 vol (ABC) / a hb = 2 vol (ABC) / b hc = 2 vol (ABC) / c auf die habe ich die Ungleichung x1 x2 x3 kleiner gleich( x1 + x2 + x3 / 3) ³ durch Anwendung von aritmetrischen und geometrischen Mitteln erhalte ich vol (ABC) kleiner gleich wurzel aus p (3p-a-b-c / 3 )³ vol (ABC) = p (3p-2p/3)³ vol (ABC) = p² (1/3Wurzel aus 3) (a+b+c/2)² dann muss aber x1 = x2 = x3 gelten, damit folgt p-a = p-b = p-c d.h. a = b = c |
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| 12.07.2005, 19:30 | conny108 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meine genaue Fragestellung lautet: Zeigen Sie: Unter allen Dreiecken mit gegebenem Umfang U hat das gleichseitige Dreieck den größten Flächeninhalt. |
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| 12.07.2005, 19:30 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe bloß nicht verstanden, was das mit den Höhen soll. Desweiteren was ihre Variante doch etwas konfus. Und was dann das mit den x1 usw soll habe ich auch nicht so ganz verstanden. Edit: Du hast doch gezeigt dass dies so ist. Auch wenn deine Lösung für mich sehr schwer nachvollziehbar ist |
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| 12.07.2005, 19:46 | conny108 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
es handelt sich sich dabei um die artihmetrischen Mittel ma = x1 + x2 + x3 / 3 geomtrisches Mittel mg = 3te Wurzel aus x1 x2 x3 (x indize 3 usw.) daraus ergibt sich mg kleiner gleich ma ich kann es irgendwie nicht korrekt darstellen sorry, vielleicht sagt mir einer wie das funktioniert dann könnte ich es benutzen |
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| 12.07.2005, 19:51 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Darstellen kannst du es am besten mit dem Formeleditor (schau mal in die rechte Randspalte) Wieso hast du eigentlich nicht a,b und c geschrieben? Das wäre dann wesentlich offensichtlicher. Wo ist denn jetzt eigentlich noch dein Problem? |
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| 12.07.2005, 19:55 | conny108 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin mir immer recht unsicher mit meinen Beweisenob das schin alles war oder ich ich vielleicht nur dran vorbei bewiesen habe an meinem Problem. Das passiert mir leider nämlich öfter deswegen wollte ich eure Meinung. Ich habe eine Vorgabe wie die Formeln auszusehen haben, welche ich verwenden darf. |
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| 12.07.2005, 20:00 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also der Beweis an sich ist gut, nur an manchen Stellen sind die Übergänge etwas komisch gefasst, zum Beispiel das hier
So etwas ist ja schön und gut, aber warum p-a = p-b = p-c gelten muss hast du nirgendserwähnt. |
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| 12.07.2005, 20:15 | conny108 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Seitenhlbierenden eines Dreicks könnte man ja auch als Flächenhalbierende bezeichnen. Man bezeichnet den halben Dreiecksumfang mit p := a+b+c / 2 so kann der Flächeninhalt des Dreiecks auch allein durch die Längen seiner Seiten expliziet ausgedrückt werden. Das ist dwer Inhalt der Heronschen Formel es gilt |
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| 12.07.2005, 20:19 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also was willst du jetzt beweisen? So wie ich die Aufgabenstellung deute, kannst du die heronsche Formel als bekannt voraussetzen und muss nun beweisen, dass ein Dreieck mit gegebenem Umfang dann den größten Flächeninhalt hat, wenn es gleichseitig ist. Da brauchst du dann keine Seitenhalbierenden mehr. Und jede andere geometrische Betrachtung ist auch überflüssig. |
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| 12.07.2005, 20:27 | conny108 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sei mir nicht böse aber ich komme einfach nicht weiter alles was ich habe, habe ich aufgeschrieben. 
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| 12.07.2005, 21:25 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da du den Beweis ja eigentlich schon hast, kriegst du ihn hier mal schön die einzelnen Schritte aufgeschrieben. du willst beweisen, dass ein Dreieck mit gegebenem Umfang genau dann den größten Flächeninhalt hat, wenn alle Seiten gleich lang sind. Nun gilt für den Flächeninhalt in einem Dreieck die heronsche Formel mit A ist maximal, wenn s*(s-a)*(s-b)*(s-c) maximal ist. s*(s-a)*(s-b)*(s-c) ist maximal, wenn (s-a)*(s-b)*(s-c) maximal ist. Also ist das arithmetische mittel ein fester Wert. (s-a)*(s-b)*(s-c) ist ganau dann maximal, wenn M_g maximal ist. und die Gleichheit gilt, wenn alle Elemente gleich sind. Somit hat M_g genau dann einen maximalen Wert, wenn (s-a)=(s-b)=(s-c) Daraus folgt, dass (s-a)*(s-b)*(s-c) maximal ist, wenn (s-a)=(s-b)=(s-c) gilt. Und wenn dies gilt, so gilt a=b=c, also handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck. Ich habe keine Ahnung wie ihr das aufschreibt, das muss ich dir lassen, aber hier sollten erst mal alle wichtigen Argumente enthalten sein, die du für den Beweis benötigst. |
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| 12.07.2005, 21:30 | conny108 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke dir für deine Geduld und deine Hilfe, du hast mir meine Klausurzulassung geretet 
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| 12.07.2005, 21:37 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Freu dich lieber nicht zu früh. Mein größtes Problem ist es immer den Beweis so zu formulieren, dass niemand etwas dagegen auszusetzen hat. Aber eigentlich sollte der Beweis so schlüssig sein, auch wenn es nicht besonders schön aussieht, wenn du dich traust, kannst du es ja rein mathematisch machen, also ohne die vielen erklärenden Sätze, aber das wollte ich dir nicht zumuten, weil ich mich da auch manchmal vertue vor allem musst du noch aufpassen, dass du das "genau dann wenn" benutzt ansonsten kann es durchaus unvollständig werden. Es ist richtig interessant, dass man immer wieder Leute aus Potsdam sieht. Gehst du dort auch auf die Uni? Vielleicht fallen mir die Leute aus Potsdam nur deshalb so sehr auf, weil das gleich um die Ecke ist und ich schon häufig an der Uni war oder sind sie so gehäuft, weil es dort zu schwer ist oder die Professoren zu schlecht sind? |
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| 12.07.2005, 21:55 | conny108 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein ich studiere an der HU in Berlin und habe auch recht gute Professoren zumindestens dieses Semester. Ich glaube ich bin einfach manchmal setwas langsam oder zu kompliziert im denken. Wie ich raus höre studierst du noch nicht, aber hast es vor. |
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| 12.07.2005, 22:04 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe aber zum Glück noch etwas Zeit, ich komme ja jetzt erst in die 11.Klasse und somit ist bis zum Studium noch Zeit, aber ich weiß noch nicht wo ich studieren will, ich kenne die Uni in Potsdam nur, weil ich dort schon mehrmals war. Aber ich finde es vor allem immer sehr interessant, wie andere Leute die ein Fach studieren nicht mit den Aufgaben klar kommen, die andere Leute schon in der Schule rechnen. Lernt man etwa an der Uni nichts mehr? |
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