Welche Interpolation ist das ??

18.07.2005, 14:02	Halu	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Interpolation ist das ?? Hallo, ich ein Problem gelöst und möchte gern wissen, was für einen mathematischen Hintergrund diese Lösung hat ?! Meine Aufgabe: In einem Mikrocontroller werden 15 Y-Werte in einem Array mit Laufindex i abgespeichert. Anhand der Indizes und den Y-Werten soll die gesuchte Position X bestimmt werden. Beispiel: Folgende Werte befinden sich in einem Array: Y-Werte: [0, 93, 685, 139, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] dazugehörige Indizes: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14] Meine Idee: Ich Mulitpliziere alle Y-Werte mit den dazugehörigen Indizes, summiere sie auf und teile es nochmal durch die Summe aller Y-Werte. Die dazugehörige Formel würde glaube ich so ausschauen: $\begin{eqnarray} X=\frac{\sum_{k=1}^n~Y(i)i}{\sum_{k=1}^n~Y(i)} \ \end{eqnarray}$ Im Beispiel ergibt sich damit: X=00 + 193 + 2685 + 3139 + 40 + 50...........+ 140 / 0 + 93 + 685 +139 + 0 + 0 + .......+0 = 2,0502 Gesucht war X=2,04. Diese Lösung ist also eine gute Näherung. Meine Frage: Was für einen mathematischen Hintergrund hat diese Lösung? Was habe ich da gemacht ? Ist das eine Art Lagrange Interpolation ?
18.07.2005, 15:57	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Interpolation ist das ?? Um das zu verstehen: Du hast das gemacht? Also nicht jemand anderes, und du willst es nur verstehen? Ich habe nicht den blassesten Schimmer, was das Stichwort "Interpolation" hier zu suchen hat. Die angegebene Formel sieht ganz stark danach aus, als wolltest du den x-Mittelwert berechnen, wobei die Y-Werte absolute Häufigkeiten der auftretenden x-Werte darstellen (ob die x-Werte nun Indizes sind oder nicht).
18.07.2005, 16:05	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Zumal eine Interpolation ein numerisches Verfahren ist um eine kontinuierliche Funktion aus diskreten Stützstellen zu ermitteln und keine einzelnen Werte.
18.07.2005, 18:14	Halu	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort. @Arthur: Ja ich bastel da an einen Wegsensor rum, der aus 15 Sensoren besteht. Diese werden von einem Mikrocontroller eingelesen. Anhand der 15 Daten und den dazugehörigen Indizes will ich die Position bestimmen. Ich hab einfach mal rumprobiert und bin auf diese Methode gestoßen. Jetzt will ich es erklären und kann es nicht, weil ich den mathematischen Hintergrund nicht weiß. Also es ist eine Art Mittelwertbildung wie du sagst ?! Würde deiner Meinung oder euerer Meinung eine Interpolation einen besseren Wert liefern? Also wenn ich die einzelnen Werte miteinander verbinde?? Wisst ihr vielleicht welche Interpolation?? Ich versuch grad eine Parabel durch 3 Punkte zu interpolieren. Mal schauen was es bringt. Danke schon mal MFG Halu
18.07.2005, 18:49	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Welcher Art sind denn ganz konkret deine Messdaten und was wllst du dann bestimmen bzw. schätzen - das kann ich deinem Eröffnungposting nur schwer entnehmen. Vielleicht kann ich dir als Statistiker (der übrigens beruflich gelegentlich auch mit solchen Themen zu tun hat) dann einen Ratschlag geben, welches Verfahren ich für deinen Zweck als das beste ansehe (hinsichtlich Varianz, Stabilität, etc.).
19.07.2005, 22:49	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
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26.07.2005, 12:20	Luv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte das Problem mal ganz praktisch angehen. Wenn u.a. Annahmen zutreffen, kann die Lösung (Ortsbestimmmung eines Meßobjektes) ganz einfach sein. 1. Die Meßwertaufnehmer geben ein analoges Signal ab (ergibt sich aus der Schilderung, daß Mittelwerte aller 15 Sensoren- Daten gebildet werden könnten). Je näher das Meßobjekt umso größer das Signal. 2. Es l äuft immer nur ein Meßobjekt an den 15 Sensoren vorbei. 3. Das Meßobjekt bewegt sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit. Dann kann aufgrund der Meßwertbeobachtung (wann ist das Maximum an welchem Sensor zu welcher Zeit erreicht) bestimmt werden: Das Meßobjekt befindet sich zur Zeit zwischen (z.B.) 4. und 5 Sensor. Mittels Zeitmessung und bekanntem Abstand der Sensoren ist die aktuelle Geschwindigkeit bekannt. Dann ist es kein Problem, den aktuellen Standort zu berechnen.
26.07.2005, 14:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein passendes Modell für das auszuwertende Signal ist das Gaußprofil, so kenne ich es zumindest aus vielen Problemen der Lasersensorik. D.h., wenn die zu messende Position $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ ist, dann misst man an Position $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ den Signalwert $\begin{eqnarray} y_i=A\,\exp\left\{-\frac{(x_i-m)^2}{2\sigma^2}\right\}+\varepsilon_i \end{eqnarray}$ wobei außerdem noch $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ... Amplitude des Signals $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ... Standardabweichung des Signals (bei Laserstrahl wäre das die halbe Strahltaille) $\begin{eqnarray} \varepsilon_i \end{eqnarray}$ ... Abweichung des $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ -ten Messwerts vom Modell (Messfehler u.a.) Nach dem Schätzprinzip MKQ (Methode der kleinsten Quadrate) passt man nun die Parameter $\begin{eqnarray} A,m,\sigma \end{eqnarray}$ so an, dass $\begin{eqnarray} Q = \sum\limits_{i=1}^n~\varepsilon_i^2 \end{eqnarray}$ minimal wird. Das zu minimieren, ist nur mit numerischen Näherungsverfahren möglich. Dein Verfahren nutzt nun folgende Näherung: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n ~ x_i \cdot \left( \frac{y_i}{ \sum\limits_{j=1}^n~y_j} \right) \approx \int\limits_{-\infty}^{\infty}~x\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\,\exp\left\{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right\}\,\mathrm{d}x = m \end{eqnarray}$ Also quasi Erwartungswert einer Normalverteilung: Rechts als Integraldarstellung, links die Näherung über eine Riemannsumme. Insofern ist die auch von dir angewandte Schätzformel $\begin{eqnarray} \hat{m} = \frac{\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n ~ x_iy_i}{\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n~y_i} \end{eqnarray}$ im Rahmen dieses Gauß-Modells eine nachvollziehbare Näherung.

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