Orthonormalbasis - Aufgabe

31.01.2008, 22:00	ago101010	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis - Aufgabe Hallo, Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe: Gegeben ist folgender Vektor $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt[]{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie Vektoren b und c, so dass B = {a,b,c} eine Orthonormalbasis bildet. Erstmal muss ja gelten: \|\|a\|\| = \|\|b\|\| = \|\|c\|\| = 1 und <a\|b> = 0 <a\|c> = 0 <b\|c> = 0 Jetzt hab ich zunächst einmal b bestimmt: b = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ <a\|b> = 0 $\begin{eqnarray} (1x)+ (1y)+ (0z) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x = -y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \begin{pmatrix} -y \\ y \\ 0 \end{pmatrix} = <\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow b = \frac{1}{\sqrt[]{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ z könnte man hier auch 1 setzen, da man es frei wählen darf, oder ? Bis jetzt stimmen die Kriterien noch. Will ich nun aber c bestimmen, stoße ich auf ein LGS der Form: I: x + y = 0 II: x - y = 0 An dieser Stelle komme ich nicht mehr weiter. Egal was ich für c berechne, der Vektor ist dann maximal zu einem der beiden anderen orthogonal. Danke im Voraus für die Hilfe mfg
31.01.2008, 22:06	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Auflösen deines LGS liefert x=y=0. Du musst jetzt irgendeine z-Komponente wählen und schon ist er orthogonal zu den andere
31.01.2008, 22:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Is ja gar nicht wahr Ich weiss nicht, was du hast. Stimmt alles. Die Lösung von x + y = 0 x - y = 0 -------------- ist x = 0 und y = 0. z musst du so wählen. dass die Länge des Vektors 1 wird, also z = 1. (0;0;1) ist zu BEIDEN anderen Vektoren a, b orthogonal, da beide Male das entsprechende Skalarprodukt Null ist. mY+
31.01.2008, 22:40	ago101010	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube ich bin überarbeitet Ich habe mir die Aufgabe ungefähr eine Stunde angeschaut und nicht gemerkt, dass ich sie eigentlich richtig gelöst habe...... Trotzdem Danke für die Hilfe mfg
31.01.2008, 23:51	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kann man auch den Vektor zu einer beliebigen Basis ergänzen und dann das Gram-Schmidt-Verfahren anwenden.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »