Stammfunktion

20.07.2005, 20:19

adler456

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Stammfunktion

Hi
Ich hab mir selbst die Integralrechnung beigebracht und verstanden und alles, aber jetzt hab ich ein kleines Problem.
und zwar wie finde ich die Stammfunktion F(x) von der Funktion
f(x)=WURZEL(4x²+1)
Kann mir das jemand genau erklären. Und zwar so dass ich es kapiere.
Ich hab irgendwas von der Substitutionsregel gehört, aber ich hab es nciht verstanden und was soll man da substitutieren und warum wird dann aus dx so ein ausdruck mit du usw.
Bitte um hilfe
Danke

20.07.2005, 21:05

brunsi

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RE: Stammfunktion
gut ich erkläre dir das und rechne dir das uach gleich mal eben vor, damit du ein beispiel hast:

Es soll zu der Funktion $\begin{eqnarray*} f(X)=\sqrt{4x^2+1}dx \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ gebildet werden.

dazu verwendet man hier wegend er Einfachheit die Substitution:

und subsituiert den Radikanten (das unter der Wurzel) und setzt:

$\begin{eqnarray*} u=4x^2+1 \end{eqnarray*}$

gleichzeitig muss man dann auch noch das $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ in
$\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ überführen.

Hierzu leitet man das ganze einfach nach $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ ab. in einer vielleicht neuen schreibweise für dich gilt nämlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=8x \end{eqnarray*}$ . Ich habe hier also nur die Ableitung gebildet.

jetzt muss ich das noch ein wenig umformen: $\begin{eqnarray*} du=8x dx \end{eqnarray*}$ woraus dann folgt:

1. $\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{8x}du \end{eqnarray*}$ dieses kann ich dann nun für dx in obiges integral ersetzen.

jetzt muss ich noch das ein aus der Gleichung markiert mit 1. durch $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ausdrücken, dazu forme ich einfach $\begin{eqnarray*} u=4x^2+1 \end{eqnarray*}$ nach x um, mit der p-q-Formel ist das ja ohne weiteres möglich.

Das überlasse ich allerdings DIR. du erhälst dann zwei Gleichungen mit $\begin{eqnarray*} x_1,2 \end{eqnarray*}$ und ersetzt das dann für x in dein ausgangsintegral:

damit erhälst du dann, wenn du die konstanten faktoren vor das integral gezogen hast:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8}\int_{}{}~u^{\frac{1}{2}}*\frac{1}{x}du \end{eqnarray*}$

so das x was ich noch nciht substituiert habe, bleibt dir jetzt überlassen. da musst du dann deine beiden Gleichungen,die du für x mittels der p-Q-Formel errechnet hast einsetzen. jeweils aber nur eine Gleichung. Du hast also am SChluss zwei integrale, die lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8}\int_{}{}~u^{\frac{1}{2}}*\frac{1}{x_1}du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8}\int_{}{}~u^{\frac{1}{2}}*\frac{1}{x_2}du \end{eqnarray*}$

wenn du nicht weiter kommst einfach fragen.

edit1: hoffe ich hab jetzt keinen schreibfehler reingebracht!!

20.07.2005, 22:53

adler456

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danke für deine antwort
ich glaub ich habs verstanden.
Muss man aber das am schluss nicht noch resubstitutieren.
Dass es wieder x wird?
Dann noch etwas wo ich mir nciht ganz sicher warum es so ist, wie es ist.
Z.B kann man konstanten vors integral schreiben.
Meine Vermutung ist, da man bei der definition des Integrals so eine summenformel hat und dieses 1/8 z.B in jedem glied steckt kann man es ausklammern.
Genauso wie das Pi bei den rotationskörpern
Ist das richtig?

warum ist
du/dx=u'
gibt es dafür einen beweis
dx ist doch ein unendlich kleines Teilstück auf der x achse

21.07.2005, 00:08

JochenX

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Zitat:

Meine Vermutung ist, da man bei der definition des Integrals so eine summenformel hat und dieses 1/8 z.B in jedem glied steckt kann man es ausklammern.

eigentlich ganz richtig! ihr habt das integral sicher über den grenzwert einer ober/untersumme hergeleitet?
und dann hast du recht: das 1/8 steckt in jedem summanden und dann kannst du selbstverständlich ausklammern

Zitat:

warum ist
du/dx=u'
[...]
dx ist doch ein unendlich kleines Teilstück auf der x achse

und eben wenn das teilstück zwischen x0 und x1 "unendlich klein" ist (was immer das in bedeutet, du meinst es strebt gegen 0), dann hat das "steigungsdreieck" zwischen x0 und x1 mit der steigung $\begin{eqnarray*} du/dx=\frac{u(x_1)-u(x_0)}{x_1-x_0} \end{eqnarray*}$ eben (im grenzfall) u'(x_0) also die kurvensteigung.

21.07.2005, 07:18

Egal

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Hallo Brunsi ich bin überwältigt von der Leichtigkeit mit der dieses Problem sich mit Hilfe von Substitution lösen lässt. Leider krieg ich es immernoch nicht zu stande. Wäre es dir eventuell möglich die Berechnung mit Hilfe der Substitution zu Ende zu führen?

21.07.2005, 10:46

derkoch

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Zitat:

jetzt muss ich noch das ein aus der Gleichung markiert mit 1. durch u ausdrücken, dazu forme ich einfach $\begin{eqnarray*} u= 4x^2+1 \end{eqnarray*}$ nach x um, mit der p-q-Formel ist das ja ohne weiteres möglich.

verwirrt

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21.07.2005, 12:06

Egal

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Brunsi hat denk ich das Standardrezept erklärt war aber nicht so ganz bei der Sache p-q Formel is hier natürlich Quatsch das ist einfaches auflösen und die Lösung ist danach auch nicht annähernd so leicht zu berechnen wie man vielleicht glauben mag.

21.07.2005, 12:17

derkoch

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hast schon recht man bekommt danach noch ein 2. integral raus , welches auch noch gelöst werden muß.
wenn ich mich nicht vertan habe kommt da irgendetwas mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} arsinh( blabla..) \end{eqnarray*}$ als ergebnis des 2. integrals raus

21.07.2005, 12:38

adler456

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okay das mit der substitution hab ich jetzt alles verstanden, aber ich habe dann immer noch nicht die stammfunktion und wenn ich das so mache dann hab ich immer noch einen Wurzelausdruck
nämlich WURZEL(u-1)/2 oder -Wurzel(u-1)/2
also wie bekomm ich die stammfunktion.
Ich weiß, dass 1/Wurzel(1-x²)
als stammfunktion arcsinx ist
erstmal wie kommt man auf so etwas und zweitens gibt es so einen ausdruck auch für 1/Wurzel(u-1)
wobei die 2 unter der wurzuel dannn im rest des ausdruckes verschwindet so dass man nur diesen ausdruck isoliert betrachtet.
danke für eure antworten

21.07.2005, 12:47

Mathespezialschüler

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brunsis Substitution ist nicht die allerbeste. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zunächst mal $\begin{eqnarray*} u=2x \end{eqnarray*}$ substituieren. Dann ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\mathrm{d}u=\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{4x^2+1}~\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot \int~\sqrt{u^2+1}~\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$ .

Letzteres ist fast ein Grundintegral, zumindest relativ bekannt. Man kann auch nochmal partiell integrieren und kommt dann auf ein Grundintegral.
Übrigens, adler, kennst du den $\begin{eqnarray*} \operatorname{arsinh} \end{eqnarray*}$ überhaupt? Das ist nicht der $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ , sondern die Umkehrfunktion von

$\begin{eqnarray*} \sinh(x):=\frac{\operatorname{e}^x-\operatorname{e}^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Falls nicht, wird es etwas schwieriger, das Integral zu lösen.

Gruß MSS

21.07.2005, 13:17

adler456

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ne sinh kenn ich nicht. Hab ich aber zumindest schonmal gehört
ich kenn aber die zahl e.
kannst du mir denn erklären was das mit sinh auf sich hat

21.07.2005, 16:18

brunsi

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@MSS: meine Substitution mag zwar nicht die beste sein, aber sie ist doch gehbar oder? ich habs zwar noch nicht zu ende geführt, aber müsste doch eigentlich machbar sein??

edit1: pardon @derkoch: wollte das hie rnicht mit der p-q-Formel lösen, sondern eigentlich nur nach $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ auflösen und dann die Wurzel draus ziehen.

21.07.2005, 16:30

JochenX

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Zitat:

meine Substitution mag zwar nicht die beste sein, aber sie ist doch gehbar oder? ich habs zwar noch nicht zu ende geführt, aber müsste doch eigentlich machbar sein??

dann vorschlag von mir: fürs doch mal zu ende smile

smile

also ich bin ja kein spezialist für integrale, aber so ohen weiteres löse ich das entstehende integral nach u nicht auf

21.07.2005, 16:33

brunsi

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jo werd eich mal schauen, obs geht, möglkich, das man auch ncoh mit einer weiteren substitution das machen muss. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.07.2005, 16:53

adler456

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Kann mir denn jetzt jemand sagen
was der Ausdruck WURZEL(1+u²)
integriert ist
ich find in einem Buch nur was das integral Wurzel(1-u²) integriert istr aber oberes steht da nicht oder istr das so ähnlich?

21.07.2005, 20:19

Mathespezialschüler

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Die Lösung ist

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{u^2+1}~\mathrm{d}u=\frac{u}{2}\sqrt{u^2+1}+\frac{1}{2}\cdot \operatorname{arsinh}u+C=\frac{u}{2}\sqrt{u^2+1}+\frac{1}{2}\cdot \ln(u+\sqrt{u^2+1})+C \end{eqnarray*}$

Wie man darauf kommt, siehst du hier!

Gruß MSS

21.07.2005, 21:16

adler456

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muss vor der areafunktion (ist das eine) nicht noch 1/2 stehen und bei der zweiten möglichkeit vorm natürlichen logarithmus?

21.07.2005, 21:17

Mathespezialschüler

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Ja, sorry. Hab ich wohl vergessen. Freude

Freude

Gruß MSS

23.07.2005, 13:27

adler456

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ich brauch nochmal eure Hilfe
ich hab folgendes Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~(1+x)/(x^2+2x)~dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich den Ausdruck im nenner zu 2x*(1+ $\begin{eqnarray*} \sqrt{x/2}^2 \end{eqnarray*}$ ) umforme und dann
u= WURZEL(x/2)
dx=4udu
substitutiere erhalte ich nach einigen Umformugnen den Ausdruck
\int_{b}^{a}~(1/u+2u)*(1/(1+u^2)~dx

für den fall, dass ich mich nciht verrechnet habe, habe ich jetzt praktisch zwei funktionen die ich miteinander multipliziere
gibt es da nciht eine regel, wie man aus so etwas die stammfunktion bekommt? Ich hab es mit partitieller integration versucht aber das klappt irgendwie nciht oder kann man besser substitutieren?
Wie findet man denn raus wie man am günstigsten substitutieren kann.

ich hab es eigentlich versucht auf die form 1/(1+u²) zu bekommen da das dann integriert arctan(u) wäre, aber man darf bei meinem ausdruck die beiden faktoren nicht getrennt integrieren?
kann mir jemand helfen?

23.07.2005, 13:58

derkoch

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substituiere

$\begin{eqnarray*} u = x^2 +2x \end{eqnarray*}$

dann kommst du zum ergebnis

beim rechnen vorfaktor nicht vergessen

23.07.2005, 14:11

adler456

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danke
ich werds gleich probieren
gibt es einen trick wie man auf die richtige substitution kommt, weil da muss man ein gut geübtes auge für haben.

23.07.2005, 14:23

derkoch

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übung übung!
irgendwann machst du es automatisch, da hilf nur rechen und nochmal rechnen.

23.07.2005, 14:28

adler456

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bist du dir sicher ob das die richtige substitution ist?
weil ich erhalte durch dieser substitution eine lange kette aber kein zufriedenstellendes ergebnis.

23.07.2005, 14:34

Mathespezialschüler

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Dann zeig doch mal, was du da so zusammenrechnest! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir überprüfen dann, denn die Substitution sollte dich auf jeden Fall weiterbringen!

Gruß MSS

23.07.2005, 14:47

adler456

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es kann auch sin sdass ich mich verrechnet habe
mal sehen

ich schreib es aber ohne die integrale weil es sonst so lange dauert
auch wenn es dann mathematisch nciht korrekt ist
(1+x)/(x²+2x)dx
u=x²+2x
dx=du/(2x+2)=du/((2*(1+WURZEL(u+1))+2)

ich muss jetzt sagen dass mir eben gerade als ich es hier reinschreiben wollte mir ein fehler in meiner rechnung aufgefallen ist.
Ich rechne jetzt mal mit verbesserung des fehlers weiter mal sehen ob es dann klappt.
(2+WURZEL(u+1))/u
ich hoffe ich hab bis hierhin alles richtig gerechnet
es gibt dann noch eine zweite möglichkeit da Wurzeln zwei lösungen haben.
aber ich weiß jetzt nicht mehr weiter.
Dieser ausderuck ist wenigstens viel einfacher als der den ich vorher hatte. Das war eine gute die über eine zeile lang war.

23.07.2005, 15:13

adler456

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man bin ich blöd
ich glaub das liegt daran, dass ich nur 3 stunden geschlafen hab.
also nicht denken dass ich nichtmal eine einfache quadratische gleichugn lösen kann
denn x=+-Wurzel(u+1)-1
ich hab glaub ich us versehen mit x=+-Wurzel(u+1)+1 gerechnet
und noch ein schusseligkeitsfehler ist dass ich vergessen habe dx durch du zu ersetzen
aber trotzdem komm ich nicht auf eine richtige lösung.
tut mir leid aber nach einem saufrausch mach ich immer solche schusseligen fehler.
könnt ihr mir trotzdem die rechnung mal vorrechnen?

23.07.2005, 15:30

adler456

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entschuldigung weenn ich ein drittes mal hinetereinander schreibe aber da ich nciht registriert ist kann ich nciht editieren.
Ich glaub nämlich, dass ich ich die lösung habe
ist die stammfunktion vielleicht 1/2*ln(u)?
es war doch nicht so schwer. Ich hatte ein brett vorm kopf aber es besteht dennoch die möglichkeit, dass ich mich schon wieder verrechnet habe
könnt ihr das ergebnis bestätigen?

23.07.2005, 17:28

derkoch

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Zitat:

Original von adler456
es kann auch sin sdass ich mich verrechnet habe
mal sehen

ich schreib es aber ohne die integrale weil es sonst so lange dauert
auch wenn es dann mathematisch nciht korrekt ist
(1+x)/(x²+2x)dx
u=x²+2x
dx=du/(2x+2)=du/((2*(1+WURZEL(u+1))+2)

ich muss jetzt sagen dass mir eben gerade als ich es hier reinschreiben wollte mir ein fehler in meiner rechnung aufgefallen ist.
Ich rechne jetzt mal mit verbesserung des fehlers weiter mal sehen ob es dann klappt.
(2+WURZEL(u+1))/u
ich hoffe ich hab bis hierhin alles richtig gerechnet
es gibt dann noch eine zweite möglichkeit da Wurzeln zwei lösungen haben.
aber ich weiß jetzt nicht mehr weiter.
Dieser ausderuck ist wenigstens viel einfacher als der den ich vorher hatte. Das war eine gute die über eine zeile lang war.

der rote teil ist noch richtig!

aber wo taucht denn die wurzel plötzlich her?

23.07.2005, 18:54

adler456

Auf diesen Beitrag antworten »

ganz einfach
ich habe die gleichung
u=x²+2x
noch x aufgelöst, wobei es dann heißt
x=Wurzel(u+1)-1
das habe ich dann in der gleichung mit dem du eingesetzt, damit ich kein x mehr im intgral habe.

23.07.2005, 19:36

derkoch

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$\begin{eqnarray*} u = x^2+2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = 2x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x+2 = 2( x+1) \end{eqnarray*}$

genau anschauen und überlegen!

23.07.2005, 23:57

adler456

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ich hab es doch genauso gemacht
es könnte höchstens sein dass ich es durch den klammerwirrwarr etwas falsch ins forum eingegeben habe.
Ich habe es nochmal durchgerechnet und kam erneut auf das ergebnis
F(u)=(1/2)*ln(u)
hast du denn etwas anderes raus?

beim ausdruck 2(x+1) muss man doch noch das x mit dem u ausdrücken, was man macht wenn man
u=x²+2x nach x umformt.
Wenn man das nicht macht dann hat man doch im integral noch ein x stehen und somit zwei variablen.
und wenn man das so macht, dann kürzt sich alles wunderbar weg
so dass am schluss nur noch 1/2*1/u übrigbleibt und 1/u ist integriert
ln(u).

24.07.2005, 01:43

Calvin

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Zitat:

Original von adler456
Ich habe es nochmal durchgerechnet und kam erneut auf das ergebnis
F(u)=(1/2)*ln(u)
hast du denn etwas anderes raus?

Nein, das Ergebnis ist richtig. Du mußt nur noch die Rücksubstitution durchführen. Ob dein Ergebnis stimmt, kannst du auch einfach nachprüfen, indem du es wieder ableitest.

Zitat:

beim ausdruck 2(x+1) muss man doch noch das x mit dem u ausdrücken, was man macht wenn man
u=x²+2x nach x umformt.

Es ist einfacher, wenn du dir das Auflösen von u=x²+2x nach x ersparst und erstmal einsetzt. Dann kürzt sich das x auch schon weg.

24.07.2005, 12:27

adler456

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Okay danke

24.07.2005, 13:04

derkoch

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hier nochmal das ganze :

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int_{b}^{a}~\frac{(x+1)}{(x^2+2x)}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = (x^2+2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du = 2(x+1) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_{b}^{a}~ \frac{1}{u} ~du = \frac{1}{2} ln(u) \end{eqnarray*}$

jetzt rücksubstituieren:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{1}{2} ln(x^2+2x) +C \end{eqnarray*}$

25.07.2005, 12:23

adler456

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aber man hätte doch auch diese Regel anwenden können
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~f'(x)/f(x)~dx=ln|f(x)|+C \end{eqnarray*}$

dann könnte man es so umformen
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(x+1)/(x²+2x)~dx=1/2* \int_{}^{}~(2x+2)/(x²+2x)~dx=1/2*ln|x²+2x|+C \end{eqnarray*}$

dann könnte man sich die substitution ersparen oder?
wobei diese regel mit substitution hergeleitet wurde

25.07.2005, 12:32

Egal

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Wenn dir dieser Zusammenhang bekannt ist kannst du den natürlich auch benutzen.

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