Symmetrische Gruppe

02.02.2008, 12:53	willi	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Gruppe Hallo, ich bin im Netz auf eine alte Klausur gestoßen mit folgender Aufgabe: Bestimmen Sie für $\begin{eqnarray} \pi = (125)(47) \in S_7 \end{eqnarray}$ den Zentralisator und zeigen Sie, daß die von Ihnen gefundene Gruppe der ganze Zentralisator ist. Gibt es für solche Aufgaben irgendeinen "Trick"? Ich hätte jetzt gesagt, der Zentralisator wäre $\begin{eqnarray} <(36)> \end{eqnarray}$ , das ist aber ehrlich gesagt eher geraten. Alle anderen Elemente verändern $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ . Könnte mir jemand sagen, wie man das beweist (falls es überhaupt richtig ist)?
02.02.2008, 16:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \tau = (47) \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} \pi \tau = \tau \pi \end{eqnarray}$ . Deine Antwort kann daher nicht stimmen.
03.02.2008, 20:59	willi	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Symmetrischen Gruppe kann man Konjugation doch so schreiben: $\begin{eqnarray} \pi = (125)(47), \tau := (36) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \pi^{\tau} = (125)^{\tau} (47)^{\tau} = (1^{\tau} 2^{\tau} 5^{\tau}) (4^{\tau} 7^{\tau}) = \pi \end{eqnarray}$ Dann würde $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ doch im Zentralisator liegen. Warum stimmt das nicht?
03.02.2008, 21:16	willi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe nicht richtig gelesen. Dann liegt also $\begin{eqnarray} (125) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (47) \end{eqnarray}$ auch noch im Zentralisator. Gibt es irgendeine Methode, den ganzen Zentralisator zu finden oder muß man "probieren"?

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