Abstand

02.02.2008, 19:21

Klaudia

Abstand

Hallo!
Könnte mir bitte jemand behilflich sein:

Gegeben ist ein bei T rechtwinkliges Dreieck mit A (2/1/3),B (2/5/3) und T (2/3/5).
Nun muss ich einen Punkt bestimmen, der von A, B und T den gleichen Abstand hat.
Ich habe folgendes aufgestellt: (den gesuchten Punkt habe ich mit S( $\begin{eqnarray*} s_1/s_2/s_3 \end{eqnarray*}$ ) bezeichnet.

$\begin{eqnarray*} d= \sqrt{(2-s_1)² + (1-s_2)² + (3-s_3)²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d= \sqrt{(2-s_1)² + (5-s_2)² + (3-s_3)²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d= \sqrt{(2-s_1)² + (2-s_2)² + (5-s_3)²} \end{eqnarray*}$

d muss denselben Wert besitzen. Mit gleichsetzen kommt man nicht weiter.

02.02.2008, 20:06

mYthos

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Der Ansatz ist sinngemäß richtig. In der dritten Zeile ist ein Abschreibfehler, dort müsste es $\begin{eqnarray*} (3 - s_2)^2 \end{eqnarray*}$ heissen. Nach quadrieren jeweils zwei $\begin{eqnarray*} d^2 \end{eqnarray*}$ gleichsetzen (bzw. jeweils 2 Gleichungen subtrahieren), damit erhalten wir drei lineare Gleichungen, welche geometrisch den Symmetrieebenen der drei Strecken entsprechen. Die durch diese Ebenen bestimmte Schnittgerade ist mit jener Ebene, in der die drei Punkte liegen, zu schneiden ...

mY+

02.02.2008, 20:07

tigerbine

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RE: Abstand
Der gesuchte Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises.

02.02.2008, 21:09

riwe

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RE: Abstand

Zitat:

Original von Klaudia
Hallo!
Könnte mir bitte jemand behilflich sein:

Gegeben ist ein bei T rechtwinkliges Dreieck mit A (2/1/3),B (2/5/3) und T (2/3/5).
Nun muss ich einen Punkt bestimmen, der von A, B und T den gleichen Abstand hat.
Ich habe folgendes aufgestellt: (den gesuchten Punkt habe ich mit S( $\begin{eqnarray*} s_1/s_2/s_3 \end{eqnarray*}$ ) bezeichnet.

$\begin{eqnarray*} d= \sqrt{(2-s_1)² + (1-s_2)² + (3-s_3)²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d= \sqrt{(2-s_1)² + (5-s_2)² + (3-s_3)²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d= \sqrt{(2-s_1)² + (2-s_2)² + (5-s_3)²} \end{eqnarray*}$

d muss denselben Wert besitzen. Mit gleichsetzen kommt man nicht weiter.

im konkreten fall ist der gesuchte punkt der mittelpunkt der strecke AB, was z.b aus dem satz von thales folgt,
also

$\begin{eqnarray*} M=\frac{1}{2}(A+B) \end{eqnarray*}$

oder "schöner aber länger"

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$

02.02.2008, 22:38

Klaudia

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Abstand
Stimmt diese eine Lösungsmöglichkeit mit dem Thaleskreis?
Eine mögliche Lage für einen Punkt mit dieser Eigenschaft ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks ABT. Da das Dreieck rechtwinkling bei T ist, ist dieser Kreis hier der Thaleskreis über der Strecke AB. Sein Mittelpunkt ist de Mittelpunkt M(2/3/3) der Strecke AB.

Mein erstes Verfahren habe ich leider nicht zu Ende bringen können:

$\begin{eqnarray*} d²=(2-s_1)² + (1-s_2)² + (3-s_3)² \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} d²=(2-s_1)² + (5-s_2)² + (3-s_3)² \end{eqnarray*}$
------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} 0=(1-s_2)²-(5-s_2)² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=1-2s_2+s_2²-25+10s_2-s_2² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_2=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d²=(2-s_1)²+4+(3-s_3)² \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} d²=(2-s_1)² +(5-s_3)² \end{eqnarray*}$
------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} 0=4+9-6s_3+s_3²-25+10s_3-s_3² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_3=3 \end{eqnarray*}$

Ich habe Probleme, $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ herauszubekommen.

02.02.2008, 23:41

riwe

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RE: Abstand

Zitat:

Original von Klaudia
Stimmt diese eine Lösungsmöglichkeit mit dem Thaleskreis?

Eine mögliche Lage für einen Punkt mit dieser Eigenschaft ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks ABT. Da das Dreieck rechtwinkling bei T ist, ist dieser Kreis hier der Thaleskreis über der Strecke AB. Sein Mittelpunkt ist de Mittelpunkt M(2/3/3) der Strecke AB.

wenn ich es hinschreibe, stimmt es auch Big Laugh

mache doch die probe:
AM = BM = TM = verwirrt

03.02.2008, 00:05

Klaudia

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Abstand
Ich habe eine Probe gemacht und die Lösung stimmt.
Doch ich möchte noch mein erstes Verfahren zu Ende bringen und bräuchte dabei noch ein wenig Hilfe.

03.02.2008, 00:22

riwe

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RE: Abstand
naja, was ich dir bieten kann ist:
die x-koordinate kannst du im konkreten fall nicht mit deinem gls finden, aber mit hinschauen:

dann siehst du, dass alle punkte die x-koordinate $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$ haben,
das ist also die EBENE, in der das dreieck liegt,
und daher hat auch der umkreismittelpunkt die koordinat $\begin{eqnarray*} x_U= \end{eqnarray*}$ verwirrt

04.02.2008, 15:01

Klaudia

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RE: Abstand
Leider sehe ich das nicht!
Mit dem LGS komme ich auf folgendes:
$\begin{eqnarray*} d²=(2-s_1)²+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d²=(2-s_1)²+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d²=(2-s_1)²+4 \end{eqnarray*}$

Hier kann ich doch jede Zahl für $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ einsetzen, da der Abstand d nicht gegeben ist.

05.02.2008, 00:50

mYthos

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Das erste Verfahren, welches unabhängig von der Art des Dreieckes für alle Dreiecke anwendbar ist, hat doch schon die richtigen Ergebnisse - fast vollständig - gebracht:

$\begin{eqnarray*} s_2 = 3; \ s_3 = 3 \end{eqnarray*}$

Da alle drei Punkte die gleiche erste Koordinate $\begin{eqnarray*} x_1 = 2 \end{eqnarray*}$ haben, fallen deswegen in diesem Falle beim Subtrahieren jeweils die Terme mit $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ heraus.
Wie ich dann schon geschrieben hatte, musst du nun noch die Ebene zu Hilfe nehmen, in der alle drei Punkte liegen, denn auch der gesuchte Punkt (Umkreismittelpunkt) liegt in dieser. Da nun, wie bereits festgestellt, alle drei Punkte die gleiche erste Koordinate $\begin{eqnarray*} x_1 = 2 \end{eqnarray*}$ haben, lautet die Gleichung der Ebene* ebenfalls

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2 \end{eqnarray*}$

Somit ist auch:

$\begin{eqnarray*} s_1 = 2 \end{eqnarray*}$

Nun ist auch der Abstand d zu berechnen.

mY+
___________________

*Die Gleichung kannst du auch auf üblichem Wege mit Stützpunkt und Richtungsvektoren gewinnen.

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