[im rechtwinkligen Dreieck] sin/cos/tan -> Winkel ?

23.07.2005, 03:24	Grey	Auf diesen Beitrag antworten »
[im rechtwinkligen Dreieck] sin/cos/tan -> Winkel ? Hallo. Ich hab vor ein paar Monaten schonmal hier vorbeigeschaut und mir wurde auch sehr kompetent geholfe, ich will mich nochmal bedanken (auch wenn ich den Namen des Helfers vergessen habe). Ich hoffe, man hilft mir auch dieses mal und bedanke mich schonmal im Vorraus für jegliche Hilfe, die man mir zuteil werden lässt. Hier mein Problem: Wenn ich den Sinus oder Kosinus eines Winkels habe (d.h. alle drei Seiten sind bekannt), weiß ich nicht, was ich tun muss, um den jeweiligen Winkel herrauszubekommen. Ich hab schon etwas im Forum gesucht und gelesen "drück die INV-Taste und danach sin/cos". Über den Tasten steht (bei meinem Taschenrechner in gelb) $\begin{eqnarray} sin^-1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} cos^-1 \end{eqnarray}$ . Ich möchte allerdings ein(e) Computerprogramm/Befehlszeile erstellen, mit der ich das errechnen kann. Erst dachte ich, ich müsse den Sekans/Konsekanz des sin/cos herrausfinden, was ja "nur" $\begin{eqnarray} 1/\sin(x) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 1/\cos(x) \end{eqnarray}$ wäre (wobei x für sin/cos steht). Aber als ich ein wenig mit dem Taschenrechner herraumprobierte merkte ich, dass es absolut nicht so ist. Das Problem nun: Was ist $\begin{eqnarray} sin/cos^-1 \end{eqnarray}$ ? Was bedeutet die -1 Potenz? Ich habe schon versucht, den sin/cos der -1er-Potenz des Winkelverhältnis herrauszufinden, das ist es nicht und die -1er-Potenz des sin/cos des Winkelverhätlnisses ist es ebenfalls nicht. Noch dazu kommt, dass ich in der Schule noch keine sin/cos/tan-Rechnung gemacht habe (kommt erst im Schuljahr nach den Sommerferien). Doch ich schätze mal wenn $\begin{eqnarray} \gamma=90° \end{eqnarray}$ dann ist die Berechnung des Winkels aus tan überflüssig, deswegen habe ich bisher nur sin/cos geschrieben. Ich habe mich schon ein wenig durch das Lexikon (bzw. Wikipedia) gelesen, jedoch hab ich auch dort keinen Hinweis gefunden, wie ich aus sin/cos einen Winkel "machen" kann (bin gestolpert über Sinus- und Kosinus- Satz, allerdings endet man dort auch wieder mit einem sin/cos einer Zahl/eines Winkels, außerdem muss nicht allgemeingültig gerechnet werden, es geht "nur" um rechtwinklige Dreiecke [Rechtecke wenn man es genau nimmt, aber die bestehen aus 2 kongruenten rechtwinkligen Dreiecken]). Ich weiß nicht, wie das hier im Forum gehandelt wird ... kann/soll ich hier eine weitere, artverwandte Frage stellen? Wenn ja ... Weiß Jemand zufällig, wie ein Computerprogramm den sin/cos eines Winkels bestimmt? Ich habe einen Code gefunden, in dem der Verfasser zuerst den Winkel in Sektoren aufteilt (damit es immer 90°-Bereiche zum berechnen sind), danach die Winkel in "ganzzahlige Zahl" und "dezimalen Rest" teilt, nur um die Werte für die ganzzahlige Zahl aus einer Tabelle abzulesen. Der "Rest" wird, wenn ich dem Autor, der es kommentiert hat glauben darf, mit "linearer Hochrechnung" überschlagen. Ist das die üblicherweise angewandte bzw. effektivste Methode? "Den Rest" zu überschlagen meine ich (wenn ja müsste ich mich über lineare Hochrechnung schlau machen). Die Variablen der Scriptsprache, die ich gezwungen bin zu benutzen, fassen allerdings nur 6 Nachkommastellen. Es wäre also möglich jede Nachkommastelle einzeln zu berechnen und danach mit 0,1 bzw. 0,01 bzw. 0,001 usw. zu multiplizieren. Ich habe das auf meinem Taschenrechner ausprobiert und es ist zwar bis auf die 4. Nachkommastelle richtig, danach allerdings nicht mehr. Würdet ihr empfehlen, ersteres oder letzteres Verfahren anzuwenden? Ersteres verstehe ich (noch) nicht, werde ich aber sicherlich wenn nötig.
23.07.2005, 08:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die "hoch -1" bei sin und cos bedeutet nicht Kehrwertbildung, sondern Bildung der Umkehrfunktion. Diese Art der Bezeichnung kommt von der abstrakten Algebra her, wo die Verkettung als eine Art Multiplikation angesehen wird. Dort hat sie auch ihren Sinn. Daß sie aber in die Analysis bis zu den Funktionskonstanten sin,cos,tan,cot vorgewuchert ist, ist eine Fehlentwicklung, die aus dem Amerikanischen kommt. Und da nun einmal die Taschenrechnertastatur amerikanisch-englisch beschriftet ist, ist diese Unart inzwischen weltweit verbreitet. Nach dieser Kulturkritik (wohl ein Kampf gegen Windmühlen) nun zum Eigentlichen. sin,cos,tan,cot ordnen einem Winkel ein Verhältnis zu. Das Umgekehrte, also einem Verhältnis den Winkel zuzuordnen, machen die Umkehrfunktionen arcsin,arccos,arctan,arccot (sprich: Arcussinus usw.), die auf dem Taschenrechner eben "sin hoch -1" usw. heißen. Diese Umkehrung ist allerdings nicht unproblematisch. Denn weil z.B. der Sinus von 50° denselben Wert hat wie der Sinus von 130°, nämlich rund 0,7660, steht man vor dem Problem: Was soll der Arcussinus von 0,7660 sein, 50° oder 130° oder ...? Nun, man entscheidet sich für den Winkel, der kleiner also 90° ist, also für 50°. Auf diese Problematik habe ich damit vorsorglich hingewiesen. Sofern du nur mit rechtwinkligen Dreiecken arbeitest, ist alles gefahrlos. Die Arcusfunktionen liefern automatisch den richtigen Winkel. Wichtig ist dabei noch, daß du das gewünschte Winkelmaß eingestellt hast, Gradmaß (DEG) bzw. Bogenmaß (RAD). Verwende dazu die DRG-Taste oder eine MODE-Kombination (siehe Taschenrechneranleitung). Bei vielen Programmiersprachen sind die Arcusfunktionen implementiert. Wie sie heißen (arcsin oder asin oder arsin oder sonstwie) entnimm bitte der Dokumentation deiner Programmiersprache. In der Regel liefern diese aber den Winkel im Bogenmaß zurück. Wenn du ins Gradmaß umrechnen willst, mußt du nachträglich noch durch $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ dividieren und mit 180 multiplizieren. Wenn du umgekehrt von einem Winkel den Sinus usw. berechnen willst, mußt du diesen zuerst ins Bogenmaß umrechnen, d.h. durch 180 dividieren und mit $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ multiplizieren. Erst dann kannst du die trigonometrische Funktion anwenden.
23.07.2005, 08:41	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Das was der Taschenrechner mit $\begin{eqnarray} \sin^{-1} \end{eqnarray}$ bezeichnet ist in wirklichkeit die Umkehrfunktion des sinus der $\begin{eqnarray} \arcsin \end{eqnarray}$ . In der Regel können alle Programmiersprachen diese Funktion von Haus aus. Wenn das nicht der Fall ist musst du eine Näherungsformel verwenden. Welche Sprache verwendest du denn? Und wie genau brauchst du das Ergebnis denn?
23.07.2005, 13:05	Grey	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke für die Antwort, das hat mir schon sehr geholfen. Ich benutze die Scriptsprache innerhalb eines Computerspiels ... an mathematischen Funktionen hat sie gerademal die Quadratwurzel implementiert. Ich hab auch schon ein Beispiel für die Berechnung von arcsin gefunden ... ungenau laut Autor, aber damit lässt sich leben. Ich hab wohl letzte Nacht ein wenig übertrieben ... soo wichtig ist die Genauigkeit auch nicht ... irgendwann ist der Unterschied so klein, dass Niemand ihn erkennen kann (ich hatte vor, die Winkel auf ein anderes Objekt zu übertragen, sodass es eine bestimmte Richtung anzeigt). Wenn man allerdings mit diesen Werten weiterrechnen will, dann sollte es ja so genau sein wie möglich, sowohl in der Wirklichkeit als auch im Computerspiel (obwohl in der Wirklichkeit wohl niemals Schiffe/Flugzeuge so enge Flugbahnen haben werden, dass ein 0,0001 Unterschied sie zur Kollision bringt). Ich hab mittlerweile auch verstanden, wie die Art Hochrechnung funktioniert und habe auch gleich mal für 89° "überschlagen" ... das Resultat ist da größer als 1 ... Naja, jedenfalls danke für die nette Unterstützung, ich hätte arcsin(e) sonst komplett übersehen. Und danke auch für die Tips, obwohl die Scriptsprache z.T. mit Graden und z.T. mit Minuten rechnet (was nicht schwer umzurechnen und anzupassen ist). Liebe Grüße, Grey

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