schwieriges Integral

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Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
schwieriges Integral
Hi Leute,

ich bin es mal wieder. traurig
Habe diesmal wieder ein Problem mit einem Integral





Nun komme ich irgendwie nicht weiter. Hilfe Ich weiß nicht wie ich den obigen Ausdruck substituieren muss damit ich auf eine Lösung komme.

Habe mir auch überlegt das ganze in eine Riemann-Summe zu überführen, doch da kam ich garnicht weiter.

Bitte helft mir. Vor allem im Bezug auf die Riemann-Summe, damit ich mal genau sehe wie ich das angehen kann ein uneigentliches Integral in eine Riemann-Summe zu überführen.

Tausend Dank Mit Zunge
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

SOllen die oberen beiden Integrale gleich sein?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da hat Mathestudent falsch eingesetzt:

Wie auch immer, die Substitution überführt den Integranden in eine gebrochen rationale Funktion in , was also in einer Partialbruchzerlegung mündet.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Trazom kann ich die Umformungen auch nicht nachvollziehen.

Beachte zunächst:



Setze dies unter dem Integral ein und kürze weg. Substituiere dann

.

Beachte dann (Partialbruchzerlegung)



Der Wert des Integrals ist dann .

Ich habe dir hier die wichtigsten Zwischenergebnisse aufgeschrieben. Jetzt solltest du sorgfältig und im Detail alles nachrechnen.
Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
schwieriges Integral
Hi Leute, Wink

vielen Dank für eure Mühen. Gott
aber was ist mit der Riemann-Summe? Kann mir das vielleicht auch nochmal jemand erklären, denn wenn das Integral existiert, dann existiert auch eine äquidistante Summe zu dem obigen Integral. Oder?

Mathestudent
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei Anmerkungen:

1. Riemann-Integrale kann man i.a. nicht als Riemann-Summen schreiben, sondern höchstens als Grenzwert von Riemann-Summen.

2. Dein obiges Integral ist kein Riemann-Integral, sondern nur ein uneigentliches Riemann-Integral mit folgender Definition



Für kannst du natürlich Folgen von Riemann-Summen angeben, die gegen den Integralwert konvergieren.

Die Frage ist, warum du das tun willst? Zur Integralberechnung ist es jedenfalls nicht nötig.
 
 
Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
schwieriges Integral
Hallo Leopold,

habe nur noch eine letzte Frage zu deiner Rechnung.
Habe das jetzt soweit durchgerechnet und komme auch auf das gleiche Endergebnis wie du, nur

1) Wieso hast du den Grenzübergang nach 0 betrachtet und nicht nach unendlich.
Mögliche Antwort: Weil der ln und exp unendlich wachsen

2) Wieso ändert sich bei der Grenzwertbetrachtung das Vorzeichen?

Also:


Jetzt einsetzen und Grenzübergang betrachten.
Daraus folgt obiges Ergebnis.
Nur WIESO DREHEN sich die Vorzeichen?
Danke.

Mathestudent
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathestudent:

Als Lehrer wird Leopold sicher häufig auf diesen Fehler bei seinen Schülern stoßen: Du hast beim Substituieren vergessen, die Grenzen mit zu substituieren. Also aus wird dann .

Und den Grenzübergang bei unendlich hat Leopold berücksichtig: Dazu musst du die beiden ln-Terme zusammenfassen!
Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
schwieriges Integral
Hi Arthur

und was ist mit dem Vorzeichenwechsel?
Kommt der dadurch zustande das du die beiden ln-Terme zusammenfasst?
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schwieriges Integral
Welcher Vorzeichenwechsel? verwirrt
Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
schwieriges Integral
Beim Integrieren
Sieh meinen obigen Post
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib deine Rechenschritte hier auf - ich weiß nicht, was du meinst. unglücklich
Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
schwieriges Integral
Rechenschritte:




Das ist genau der Schritt den ich nicht verstehe.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du rechnest ganz einfach falsch. Das unbestimmte Integral ist

Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
schwieriges Integral
Also laut Maple und laut dem Ergebnis von Leopold stimmt das dann aber nicht, denn wenn man dann den Grenzübergang gegen 0 betrachtet, also


erhalte ich zwar

aber nicht sondern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also zurück zu den Grundlagen der Integralrechnung: Das bestimmte Integral berechnet sich gemäß



mit Stammfunktion



Da steht also , nicht !!!
Mathestudent Auf diesen Beitrag antworten »
schwieriges Integral
Hi Arthur,

ich würde dir ja voll zustimmen, doch ich habe das in Maple reingehackt zur Überprüfung und Maple spuckt mir das obige Ergebnis:

aus.
Außerdem muss dieses Resultat auch stimmen, denn sonst würdest du nicht auf das Ergebnis von Leopold kommen, denn sonst hätten wir am Ende da stehen:

und nicht
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schwieriges Integral


Also:


EDIT: Dein Schweigen (trotz Vorbeischauen im Thread) deute ich mal so, dass jetzt alles klar ist. Na dann bis zum nächsten Mal. Wink
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