Hessesche Normalform erstellen

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03.02.2008, 14:07	jaskill	Auf diesen Beitrag antworten »
Hessesche Normalform erstellen hi, folgende Ebenengleichung hab ich hier gegeben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\3 \\0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das soll ich jetzt in die hessische Normalform bringen, da bin ich mir nicht ganz sicher ob ich das richtig verstanden hab wie das geht. ich forme also erstmal in die Koordinatenform um Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren bilden, das ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. nach division durch 4 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ den ortoghonalenvektoren mit der gleichung multiplizieren bringt mich zur Koordinatenform: $\begin{eqnarray} x+y+z=7 \end{eqnarray}$ nach null auflösen $\begin{eqnarray} x+y+z-7=0 \end{eqnarray}$ so.....und was muss ich jetzt machen um die Hessesche Form zu bekommen
03.02.2008, 14:08	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du darauf, das in "Hochschulmathematik" zu posten? EDIT: Du hast doch schon alles, was du brauchst. Einen Punkt auf der Ebene hast du und den Normalenvektor.
03.02.2008, 14:20	jaskill	Auf diesen Beitrag antworten »
weil ich das in der schule nie hatte und erstmals im studium damit konfrontiert wurde. deswegen hochschule...... was genau muss ich den jetzt machen um die HNF zu kriegen? ich steh da wohl was aufm schlauch...
03.02.2008, 14:26	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Dividiere durch die Länge deines Normalenvektors.
03.02.2008, 14:30	jaskill	Auf diesen Beitrag antworten »
\|n\| = $\begin{eqnarray} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{y}{\sqrt{3}} + \frac{z}{\sqrt{3}} + \frac{7}{\sqrt{3}} = 0 \end{eqnarray}$ so? is das jetzt meine HNF?
03.02.2008, 14:41	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
@Björn: Der Normalenvektor muss nicht notwendig normiert sein. @jaskill: Ich habe x + y + z = 7.
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03.02.2008, 14:56	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
@ WebFritzi Der Normalenvektor nicht, aber man muss doch die Koordinatengleichung durch die Länge des gewählten Normalenvektors dividieren um auf eine HNF zu kommen oder hab ich da was falsch verstanden Gruß Björn
03.02.2008, 15:06	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, die HNF lautet doch so: $\begin{eqnarray} \left(\vec x - \vec p\right) \bullet \vec{n_0} = 0. \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \vec p \end{eqnarray}$ ein Punkt auf/in der Ebene, und $\begin{eqnarray} \vec{n_0} \end{eqnarray}$ soll den Einheitnormalenvektor darstellen. Das lässt sich auch schreiben als $\begin{eqnarray} \vec x \bullet \vec{n_0} = \vec p \bullet \vec{n_0}. \end{eqnarray}$ Wie man sofort sieht, spielt die Normierung hier keine Rolle.
03.02.2008, 16:03	jaskill	Auf diesen Beitrag antworten »
ups also die HNF hat diese form? $\begin{eqnarray} \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{y}{\sqrt{3}} + \frac{z}{\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ bzw. nach Null umgestellt: $\begin{eqnarray} \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{y}{\sqrt{3}} + \frac{z}{\sqrt{3}} - \frac{7}{\sqrt{3}} = 0 \end{eqnarray}$
03.02.2008, 16:06	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Es fragt sich aber, was diese Wurzel(3) soll? Wahrscheinlich habt ihr recht, und es gehört zur Hesseschen Normalenform, aber es sieht einfach mal scheiße aus.
03.02.2008, 16:34	jaskill	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich die komponenten durch die länge des normalenvektors teilen muss, dann siehts halt etwas blöd aus. aber is das ja scheinbar so richtig. danke.
03.02.2008, 20:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Webfritzi Du brauchst Nachhilfe in HNF . Der Normalvektor MUSS in der HNF normiert sein, solange er das dort nicht ist, ist es einfach keine HNF, egal, ob das Sch***** aussieht oder nicht. Der Grund: In dem Moment, wo es um Abstandsberechnungen mittels der HNF geht, wird jedweder Abstand immer mit dem Einheitsnormalenvektor verglichen, d.h. diese Abstände erscheinen immer als Projektion auf diesen Einheitsnormalvektor. Auf Grund der geometrischen Eigenschaften des Skalarproduktes ist dessen Wert eine Maßzahl für den Abstand, solange einer der Vektoren (der Normalvektor) dieses Skalarproduktes die Länge 1 hat. mY+
03.02.2008, 20:51	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi mYthos. Ja stimmt. Das ist mir dann auch wieder eingefallen.
15.02.2008, 08:44	Charles31415	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Nette ist ja, dass man an $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) n=7/\sqrt{3} \end{eqnarray}$ sofort die Entfernung 7/3^.5 (und nicht etwa 7) vom Nullpunkt ablesen kann. Ah, und Hessesche, nicht hessische (Hermann sein Bruder oder so).
15.02.2008, 12:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ muss aber dann schon der normierte Normalvektor sein! mY+

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