E[X] und Var[x] - Klausuraufgabe

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03.02.2008, 21:24	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
E[X] und Var[x] - Klausuraufgabe Hallo, folgende Aufgabe: Es seien drei unabhängige Ereignisse A,B,C gegeben mit P(A)=a, P(B)=b, P(C)=c. Die Zufallsvariable N gebe die Anzahl der Ereignisse an, die eintreten. Drücke E[N] und Var[N] durch a,b,c aus. Hinweis: Es ist geschickt N als Summe von unabh. Zufallsvariablen zu schreiben. Meine Idee war bislang folgende, dass ich mir ein Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ defniere, die den Wert 1 annimmt, wenn A eintritt, den Wert 2, wenn B eintritt und den Wert 3, wenn C eintritt, dann kann ich davon leicht den Erwartungswert bestimmen und dann den Erwartungswert von N und die Varianz bestimmen! Ist das richtig?
04.02.2008, 12:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeutet der Index $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ? Das sieht so aus, als wolltest du mehrere Zufallsvariablen definieren. Und genau das wäre auch der richtige Ansatz: $\begin{eqnarray} X = \begin{cases} 1 & \text{falls} \ A \ \text{eintritt} \\ 0 & \text{falls} \ A \ \text{nicht eintritt} \end{cases} \end{eqnarray}$ Entsprechend definiere die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ . Welcher einfache arithmetische Zusammenhang besteht zwischen $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X,Y,Z \end{eqnarray}$ ? Warum sind $\begin{eqnarray} X,Y,Z \end{eqnarray}$ unabhängig? Was sind die Erwartungswerte und Varianzen von $\begin{eqnarray} X,Y,Z \end{eqnarray}$ ? Was ist also der Erwartungswert und die Varianz von $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ?
04.02.2008, 20:33	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, ursprünglich wollte ich mir eine Zufalssvariable $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ basteln, welche den Wert 1 annimmt wenn A eintritt, den Wert 2 wenn B eintritt und den Wert 3 wenn C eintritt. Mittlerweile ist mir aber klar das dies nicht möglich ist. Also defniere ich mir drei ZV X, Y, Z nach der von dir gewählten Bauart, dann hat X den Erwartungswert a, Y den Erwartungswert b und Z den Erwartungswert c. Da N die Gesamtanzahl der Ereignisse ist, muss ich also X,Y,Z addieren und zwar so oft, wie diese Einzelereignisse eben eintreten, am Ende müsste der Erwartungswert von N doch sein: $\begin{eqnarray} E[N]=na+mb+kc \end{eqnarray}$ wobei n,m,k für die Häufigkeit der einzelnen Ereignisse steht. Ist das okay so?
04.02.2008, 23:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das stimmt nicht. Ich könnte dir jetzt sagen, wie das rechnerisch richtig geht. Es wäre auch nicht schwer. Aber ich will lieber anschaulich vorgehen. Nehmen wir die Sache mit den grünen, gelben und roten Paprika. $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sei das Ereignis, daß die erste Person keine rote Paprika kauft, $\begin{eqnarray} P(A) = \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sei das Ereignis, daß die zweite Person eine rote Paprika kauft, $\begin{eqnarray} P(B) = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ sei das Ereignis, daß die dritte Person eine gelbe Paprika kauft, $\begin{eqnarray} P(C) = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ . Die Ereignisse sind unabhängig. $\begin{eqnarray} X, Y, Z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N = X+Y+Z \end{eqnarray}$ werden wie vorher definiert. Was bedeuten denn diese Wahrscheinlichkeiten? Im ersten Fall zum Beispiel, daß, auf lange Sicht gesehen, in zwei Drittel der Fälle die erste Person keine rote Paprika kauft. Bei 3000 Durchläufen erwarten wir das also 2000 Mal. Und daß die zweite Person bei diesen 3000 Durchläufen eine rote und die dritte eine gelbe Paprika kauft, erwarten wir jeweils 1000 Mal. Für jedes einzelne $\begin{eqnarray} A,B,C \end{eqnarray}$ , das wir beobachten, machen wir einen Strich auf unserer Strichliste. Wie viele Striche erwartest du also bei diesen 3000 Durchläufen? Was ist also die durchschnittliche Anzahl von Strichen bei einem Durchlauf? Und das ist dein $\begin{eqnarray} \mathcal{E}(N) \end{eqnarray}$ . Der Erwartungswert ist ein rein statistischer Wert. Wenn ein Schüler einen schriftlichen Notenschnitt von 3,2 hat, heißt das ja nicht, daß er tatsächlich die Note 3,2 geschrieben hat (diese Note gibt es ja gar nicht als Einzelnote), sondern daß er viele Klassenarbeiten mit unterschiedlichsten Noten geschrieben hat, die aber im Mittel 3,2 ergeben. Man tut also so, als hätte er eine einzige Klassenarbeit mit genau dieser Note geschrieben. Und wenn sich der Schüler in seinen Leistungen weder verbessert noch verschlechtert, so erwartet man die 3,2 als Note bei einer Klassenarbeit - statistisch gesehen.
05.02.2008, 07:58	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich mich nicht täusche erwarten wir nach meiner Definiton mehr Striche, als wir Durchläufe gemacht haben. Und das kann ja nicht sein.
05.02.2008, 09:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum nicht? Machen wir als Beispiel vier Durchläufe. Ein zufälliger Einkauf unserer 9 Kunden könnte so aussehen: ( rot \| rot \| gelb \| ... ) ( gelb \| grün \| rot \| ... ) ( gelb \| rot \| gelb \| ... ) ( grün \| rot \| grün \| ... ) Wir beobachten $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ dreimal, $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ dreimal und $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ zweimal. Macht zusammen 8 Striche - bei 4 Durchläufen!
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05.02.2008, 16:46	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm irgendwie klingt dein Beispiel zwar sehr anschaulich, aber im Bezug auf meine Aufgabenstellung tue ich mich schwer. Ich sehe momentan nicht, warum mein Erwartungswert für N falsch sein könnte. Du gibt mir doch Recht, das der Erwartungswert für X, welche mir die Anzahl angibt, wie oft A eingetreten ist, fogendes ist: $\begin{eqnarray} E[X]=\sum_{i=1}^n~X_i=na \end{eqnarray}$ Analog für Y und für Z. Die Zufallsvariable N zählt ja das Eintreten aller Ereignisse also egal ob A,B oder C eintritt. Warum darf ich dann da nicht summieren?
05.02.2008, 19:15	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Definition von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ abgeändert! $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist nur eine Indikatorvariable, die angibt, ob $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eingetreten ist oder nicht. Und $\begin{eqnarray} N = X + Y + Z \end{eqnarray}$ zählt, wie viele der Ereignisse $\begin{eqnarray} A,B,C \end{eqnarray}$ bei einmaliger Durchführung des Versuches eingetreten sind. $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ kann daher nur die Werte 0,1,2,3 annehmen.
05.02.2008, 22:14	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach dann habe ich doch die Aufgabenstellung falschverstanden, ich bin bislang davon ausgegangen, dass N die komplette Anzahl angibt, wie oft eben A, B und C eingetreten sind, aber du hast glaub ich Recht, das N bezieht sich auf einen Durchlauf und kann daher die Werte 0,1,2,3 annehmen, aber wirklich weiter hilft mir das im Moment auch nicht. Werde die Aufgabe nicht mehr lösen können, denn morgen Nachmittag ist schon Klausur und ich schaue mir lieber die anderen Aufgaben nochmal an. Dennoch dürfen wir einen Zettel mit reinnehmen, und ich würde mir gerne diese aufgabe als Beispiel notieren, also wäre ich dir sehr dankbar wenn du die Lösung verraten könntest in so einer dringenden Situaiton
05.02.2008, 23:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} X,Y,Z \end{eqnarray}$ sind Bernoulli-Größen (da sie die zwei Werte 0 und 1 besitzen). $\begin{eqnarray} \{X=1\} \end{eqnarray}$ ist gerade das Ereignis $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} a = P(A) \end{eqnarray}$ die Erfolgswahrscheinlichkeit, und es gilt wie entsprechend dann auch bei $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \mathcal{E}(X) = a \, , \ \ \operatorname{Var}(X) = a(1-a) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{E}(Y) = b \, , \ \ \operatorname{Var}(X) = b(1-b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{E}(Y) = c \, , \ \ \operatorname{Var}(X) = c(1-c) \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} N = X + Y + Z \end{eqnarray}$ gilt wegen der Additivität des Erwartungswertes $\begin{eqnarray} \mathcal{E}(N) = \mathcal{E}(A) + \mathcal{E}(B) + \mathcal{E}(C) = a + b + c \end{eqnarray}$ Und da $\begin{eqnarray} A,B,C \end{eqnarray}$ unabhängig sind, sind es auch $\begin{eqnarray} X,Y,Z \end{eqnarray}$ . In diesem speziellen Fall ist auch die Varianz additiv: $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}(N) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + \operatorname{Var}(Z) = a(1-a) + b(1-b) + c(1-c) \end{eqnarray}$ Und noch einmal zurück zum Paprika-Beispiel: Bei 3000 Durchgängen rechnet man 2000mal mit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , 1000mal mit $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ , 1000mal mit $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ . Also erwartet man bei 3000 Durchgängen die Gesamtanzahl 4000 der eintretenden Ereignisse. Auf einen Durchgang umgerechnet hat man also $\begin{eqnarray} \mathcal{E}(N) = \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ als durchschnittliche Anzahl zu erwarten. Das liefert auch die obige Formel.
06.02.2008, 07:21	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden. So werde ich mir das auch notieren. Mein Fehler lag wirklich darin, dass ich dachte man müsse zählen wie oft A, B und C eintrete und das ganze dann auch noch summieren, deshalb hatte ich diese Vorfaktoren m,n,k noch mit dabei. Wünsche noch einen schönen Tag

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