Eigenwert

04.02.2008, 16:54

hxh

Eigenwert

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

um den Eigenwert von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu bekommen muss ich doch

$\begin{eqnarray*} det ( A -\lambda E_{n}) = (0-\lambda)*(0-\lambda)*(0-\lambda) = -\lambda^{3}=0 \end{eqnarray*}$

dann wäre lamda 0 und A sein eigener Eigenraum ?

da stimmt doch was nicht ?

04.02.2008, 17:01

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$\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$ ist einziger Eigenwert, richtig. Aus dessen algebraischer Vielfachheit 3 kannst du aber noch lange nicht folgern, dass auch dessen geometrische Vielfachheit ( = Dimension des Eigenraums zum Eigenwert) gleich 3 ist, sondern nur, dass sie kleiner oder gleich 3 ist. Im vorliegenden Fall ist sie nur 1. Die Matrix ist nicht diagonalisierbar, sie liegt aber bereits in der (allgemeineren) Jordanschen Normalform vor.

04.02.2008, 17:18

hxh

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ok das mit der algebraische und geometrischen vielfachheit hat man uns noch nicht erklärt ( der Prof is mit dem stoff hinter den übungsaufgaben)

um eine Basis nun zu bekommen müsste ich ja

(A - 0*E) *x = 0

und x bestimmen ? kann man einfach sagen x=(0,1,1)^t verwirrt

04.02.2008, 17:22

marci_

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(A - 0*E) *x = 0 ja, aber wie kommst du dann auf deinen lösungsvekotr... $\begin{eqnarray*} x_2=x_3=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ist frei wählbar...

04.02.2008, 17:24

hxh

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stimmt da haste recht Forum Kloppe

04.02.2008, 18:29

hxh

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Hab hier noch so ne Aufgabe

$\begin{eqnarray*} B= \begin{pmatrix} 1.5 & -0.5 & 0 & 0 \\ -0,5 & 1.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann hab ich umgeformt (hoffe das darf man und das stimmt )

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1.5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann die Eigenwerte ausgerechnet und da kam schön $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda=4 \end{eqnarray*}$ raus.

04.02.2008, 18:34

system-agent

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Wieso sollte man das so einfach dürfen? Die Determinante ändert ihren Wert bei gewissen Operationen wenn man an der Matrix herumhantiert.

Nennen wir mal deine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Du musst einfach
$\begin{eqnarray*} \det(A-\lambda E_4) \end{eqnarray*}$
bestimmen ( $\begin{eqnarray*} E_4 \end{eqnarray*}$ ist die 4x4 Einheitsmatrix). Das geht doch ziemlich nett mit LaPlace (Entwicklung nach der letzten Zeile...)

04.02.2008, 18:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von hxh
$\begin{eqnarray*} B= \begin{pmatrix} 1.5 & -0.5 & 0 & 0 \\ -0,5 & 1.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1.5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist natuerlich Unsinn.

Zitat:

Original von hxh
dann die Eigenwerte ausgerechnet und da kam schön $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda=4 \end{eqnarray*}$ raus.

Nein, die Eigenwerte der ersten Matrix sind 1 (dreifach) und 2.

04.02.2008, 18:37

hxh

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ok verstehe danke

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