Stammfunktion zu x/cos^2(x)

26.07.2005, 15:26

brunsi

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so ich schreib das hier jetzt einfach noch einmal rein, da ich nicht unbedingt das board mit so vielen neuen threads zumüllen möchte.

so ich habe mich gefragt, wie ich dieses Integral am Besten aufleiten könnte:

$\begin{eqnarray*} \int_{}{}~\frac{x}{cos^2(x)}~dx \end{eqnarray*}$

macht es da sinn das mit partieller integration zu versuchen oder gibt es für solche noch einen trick der mir bloß nicht bekannt ist?

edit: bitte nur auf meine frage antworten, keine lösungen oder lösungsansätze in rechnerischer form hier reinstellen, dass vermiest mir sonst die Freude am selber lösen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

danke euch Willkommen

Willkommen

Willkommen

26.07.2005, 15:30

Mathespezialschüler

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Es geht nicht um Zumüllen, es geht darum, dass alles geordnet ist und alles gut gefunden werden kann. Deshalb geteilt.

Partielle Integration mit $\begin{eqnarray*} u'=\frac{1}{\cos^2x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=x \end{eqnarray*}$ dürfte zum Ziel führen.

Gruß MSS

26.07.2005, 15:33

brunsi

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ach das geht auch?? geschockt

geschockt

ich hab irgendwie nur versucht die ganze zeit das erst einmal umzuschreiben und das dann partiell zu integrieren, da kam bei mir aber nur viel zu viel unübersichtliches heraus. naja ich meld mcih,w enn ichs geschafft habe.

gruß dennis

vielen Dank@ MSS

26.07.2005, 16:29

riwe

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ja führt zum ziel
$\begin{eqnarray*} I=x\cdot tanx+ln\mid cosx\mid \end{eqnarray*}$
werner

26.07.2005, 17:56

AD

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Oh Werner, du wirst dir wohl noch brunsis Zorn zuziehen:

Zitat:

Original von brunsi
edit: bitte nur auf meine frage antworten, keine lösungen oder lösungsansätze in rechnerischer form hier reinstellen, dass vermiest mir sonst die Freude am selber lösen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber vermutlich sieht er sowieso erst wieder rein, wenn er es raus hat. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.07.2005, 18:08

riwe

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ojehhhh, das habe ich nicht gesehen
tut mir leid brunsi
werner

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27.07.2005, 20:58

brunsi

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nö das war zwar nicht nötig, das zu posten, denn die Stammfunktion dazu habe ich auch in einem Buch gefunden @Werner. mein problem ist jetzt nur, wie komme ich zu dieser Stammfunktion hin???

da haperts bei mir. wenn ich nur $\begin{eqnarray*} cos^2 \end{eqnarray*}$ integrieren würde wüsste ichw as heraus käme. jedoch fehlt mir das nötige verständnis hierzu. kal rich könnte es in den taschenrechner eingeben, aber der liefert mir nur die Integration.

könntet ja schon mal was austüffteln, und ich frag ncoh mal nach, wenn mein ansatz acuh nciht funktioniert.

Meiner wäre jetzt, das ich versuche von der Stammfunktion auf mein Integral zu schließen. also bitte noch nüscht verraten. und dieses mal wirklich nichts sagen Spam

Spam

! erst wenn ich wieder frage.

schönen abend noch Willkommen

Willkommen

Wink

27.07.2005, 21:53

riwe

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entschuldige noch einmal brunsi, aber du kommst so hin
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{cos^{2}}~dx =tanx \end{eqnarray*}$
und damit lautet der erste teil der partiellen integration = x tan x ...
und jetzt differenzieren und tan x = sin x / cos x und substituieren cos x = u und schon paßt es
werner

28.07.2005, 13:29

brunsi

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sorry @ werner, hab mich da etwas unverständlich ausgedrückt.

ich meinte eigentlich:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{cos^{2}}~dx =tanx \end{eqnarray*}$

Wie komme ich von dem Integral auf den Tangents? da haperts bei mir.

also ich kenne ja folgende Beziehungen die sich vom Einheitskreis her ableiten:

$\begin{eqnarray*} cos^2(x)+sin^2(x)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

Cotangens ist das Gegenteil vom Tangents.

bekomme ich das durch diese Angaben hin?

28.07.2005, 13:46

Calvin

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Zitat:

Original von brunsi
Wie komme ich von dem Integral auf den Tangents? da haperts bei mir.

Wenn man es nicht weiß, dann erweitere den Bruch mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sin^2x}{\sin^2x} \end{eqnarray*}$ und substituiere u=tan(x). Wobei du zwischendrin auch darauf stoßen wirst, dass $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2x} \end{eqnarray*}$

28.07.2005, 17:14

iammrvip

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Zitat:

Original von brunsi
ich meinte eigentlich:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{cos^{2}}~dx =tanx \end{eqnarray*}$

[...]

also ich kenne ja folgende Beziehungen die sich vom Einheitskreis her ableiten:

$\begin{eqnarray*} cos^2(x)+sin^2(x)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

Dann hast es doch schon fast:

Es ist also:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\cos^2x}\mathrm dx = \int\frac{\cos^2x + \sin^2x}{\cos^2x}\mathrm dx = \int\left(1 + \tan^2x\right)\mathrm dx \end{eqnarray*}$

nun substituiere:

$\begin{eqnarray*} \mathrm du = \left(\tan^2x + 1\right)\mathrm dx, (u = \tan x) \end{eqnarray*}$

fertig.

28.07.2005, 19:37

brunsi

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@all: und wie bekomme ich das mit partieller integration hin? wie komme ich dort auf den Tangents bei dem beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

edit1: streicht das bitte eben. ich hab schon gesehen wie es jetzt weiter gehen muss. danke für eure antworten @MSS,werner, Calvin, iammrvip und Arthur Dent!!!

29.07.2005, 19:47

brunsi

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so ich will jetzt mal schauen, ob ich es richtig gemacht habe mit euren ganzen hilfen.

also für das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{}{}~\frac{x}{cos^2(x)}~dx=x*tan(x)-\int_{}{}~tan(x)dx \end{eqnarray*}$

so und dann halt auch noch eben $\begin{eqnarray*} \int_{}{}~tan(x)dx \end{eqnarray*}$ integriert ergibt:

$\begin{eqnarray*} \int_{}{}~tan(x)dx=\int_{}{}~\frac{sin(x)}{cos(x)}dx \end{eqnarray*}$

ich habe dann gewählt:

$\begin{eqnarray*} u'=\frac{1}{cos(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{2}*ln(\frac{1+sin(x)}{1-sin(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=cos(x) \end{eqnarray*}$

damit ist dann eine Stammfunktion:

$\begin{eqnarray*} \int_{}{}~\frac{x}{cos^2(x)}~dx=x*tan(x)-sin(x)*\frac{1}{2}*ln(\frac{1+sin(x)}{1-sin(x)})-\frac{1}{2}\int_{}{}~cos(x)*ln(\frac{1+sin(x)}{1-sin(x)}) \end{eqnarray*}$

kann mir bitte jemand beim letzten intergal behilflich sein? ich komme da einfach nciht weiter???!

29.07.2005, 20:38

Calvin

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Zitat:

Original von brunsi
$\begin{eqnarray*} \int_{}{}~tan(x)dx=\int_{}{}~\frac{sin(x)}{cos(x)}dx \end{eqnarray*}$

ich habe dann gewählt:

$\begin{eqnarray*} u'=\frac{1}{cos(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{2}*ln(\frac{1+sin(x)}{1-sin(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=cos(x) \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass du ein großer Fan von partieller Integration bist? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du hier genau hinschaust, dann ist das Integral etwa von der Form $\begin{eqnarray*} \int~\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx \end{eqnarray*}$ . Entweder weiß man, was da rauskommt, oder man substiutiert $\begin{eqnarray*} u=f(x) \end{eqnarray*}$ , also hier $\begin{eqnarray*} u=\cos(x) \end{eqnarray*}$ .

29.07.2005, 21:07

riwe

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@hallo brunsi
cos x = u
-sin x dx = du
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{sinx}{cosx}~dx =-\int_{}^{}~\frac{du }{u}= -ln\mid u\mid \end{eqnarray*}$
werner

29.07.2005, 21:30

brunsi

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@Calvin: ja bin ein grpßer Fan von partieller Integration. Tanzen

Tanzen

Tanzen

Danke dass du mich auf diesen spezialfall fixiert hast. dann kann ich mir im allgemeinen ja den rest schenken.

danke auch dir werner! keine ahnung weshalb ich bei meiner lösung deinen schritt übersehen habe verwirrt

verwirrt

vielen dank Euch beiden. jetzt bin ich endlich durch mit diesem Integral smile

smile

smile

30.07.2005, 12:10

brunsi

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so damit es vollständig ist:

$\begin{eqnarray*} Z(x)=\int_{}{}~\frac{x}{cos^2(x)}~dx=x*tan(x)+ln(|cos(x)|) \end{eqnarray*}$

die Probe liefert mir dann folgende Ableitung:

für den 1.Summanden mit Produktregel:

$\begin{eqnarray*} u=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=\frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=1+tan^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}+x*(1+tan^2(x)) \end{eqnarray*}$

fürt den 2.Summanden ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{1}{cos(x)}*(-\sin(x)) \end{eqnarray*}$

damit ergibt Z'(x):

$\begin{eqnarray*} Z'(x)=f'(x)+g'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z'(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}+x+x*\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}-\frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

dann die beiden verbleibenden summanden auf einen Hauptnenner gebracht der hier $\begin{eqnarray*} cos^2(x) \end{eqnarray*}$ ist und anschließend x ausgeklammert und den verbleibenden term $\begin{eqnarray*} cos^2(x)+sin^2(x) \end{eqnarray*}$ ersetzt durch dei beziehung: $\begin{eqnarray*} cos^2(x)+sin^2(x)=1 \end{eqnarray*}$

damit ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} Z'(x)=\frac{1}{cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

könntet ja noch einmal nachprüfen, falls ihr lust dazu habt.

30.07.2005, 12:14

Leopold

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Für $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ ist die Stammfunktion ja schon einmal nicht definiert. verwirrt

verwirrt

30.07.2005, 12:19

brunsi

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tja und nun?

edit: wieso soll sie denn für x=2 nicht definiert sein? wo ist denn mein fehler?

wenn ich das in den taschenrechner eingebe, danne rhalte ich aber einen wert.

30.07.2005, 12:21

Leopold

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Fallunterscheidung: $\begin{eqnarray*} \cos{x}>0 \ \text{oder} \ \cos{x}<0 \end{eqnarray*}$ oder Betragsstriche.

30.07.2005, 12:24

brunsi

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die Funktion ist eigentlich nur für $\begin{eqnarray*} cos(x)<0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert.

edit: also muss ich dafür betragsstriche setzen?

edi2: aber darf ich dann einfach so die betragsstriche da hineinsetzen?

30.07.2005, 12:27

Leopold

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siehe z.B. hier

30.07.2005, 12:29

brunsi

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ok, also darf und muss ich es sogar so machen. habs auch da oben schon korrigiert.

danke schön.

30.07.2005, 12:31

Leopold

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Zur Übung könntest du ja einmal den maximalen Definitionsbereich von

$\begin{eqnarray*} f(x) = \ln{(-x)} \end{eqnarray*}$

bestimmen und differenzieren. Vielleicht verstehst du dann besser, was du tust.

30.07.2005, 12:37

brunsi

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ok, ich meld mcih dann wieder, in diesem thread wenn ich die aufgabe von dir geschafft habe Leopold. was wohl nicht vor morgen sein wird. Nicht weil ich lange dazu bräuchte, sondern weil cih arbeiten muss.

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