Abstandspunkte zw. Geraden

05.02.2008, 14:37

ernie04

Abstandspunkte zw. Geraden

Hallo,

Ich habe den Abstand zwischen zwei räumlichen, windschiefen Geraden (g , h) mittels Lösungsformel berechnet:

Volumen des Spats / Grundfläche des Spats

Jetzt meine Frage:

Gibt es zur Berechnung der Punkte, des Differenzvektors (AB ),
oder "Abstandsvektors", auch eine schnellere Lösung?

Oder geht dies nur über Auflösen, also Bedingung AB senkrecht zu g und senkrecht zu h setzen und dann die Parameter der Geraden berechnen...

Also, geht es schneller?

Edit:

Hm, wollte die Frage eigentlich unter Hochschulmathe ablegen...

05.02.2008, 17:46

mYthos

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Was dies mit dem Spat zu tun haben soll, geht für mich daraus nicht hervor.

Den Abstandsvektor (seine Richtung) selbst kann man ganz schnell - als Normalvektor mittels des Veltorproduktes - ermitteln. Auch den kürzesten Abstand allein. Weniger schnell die Endpunkte. Dazu gibt es verschiedene Verfahren; ein sehr elegantes ist das des geschlossenen Vektorzuges. Wurde hier im Board schon öfters behandelt ...

mY+

05.02.2008, 19:20

Leopold

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Wenn man die Rechnung allgemein durchführt, erhält man Folgendes:

Sind $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b} \end{eqnarray*}$ die Ortsvektoren der Punkte $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ als Stützvektoren und $\begin{eqnarray*} \vec{u}, \vec{v} \end{eqnarray*}$ die Richtungsvektoren der Geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} g: \ \ \vec{x} = \vec{a} + \sigma \, \vec{u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h: \ \ \vec{x} = \vec{b} + \tau \, \vec{v} \end{eqnarray*}$

und nehmen wir weiter an, daß $\begin{eqnarray*} \vec{u}, \vec{v} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig und damit die Geraden nicht parallel sind, so sind

$\begin{eqnarray*} \sigma = \frac{\left( \vec{b} - \vec{a} \right) \left( \vec{v} \times \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \right)}{\left| \vec{u} \times \vec{v} \right|^2} \, , \ \ \ \tau = \frac{\left( \vec{a} - \vec{b} \right) \left( \vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{u} \right) \right)}{\left| \vec{v} \times \vec{u} \right|^2} \end{eqnarray*}$

die Parameterwerte für die Stützvektoren der Fußpunkte der gemeinsamen Lotstrecke von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ .

Wenn du willst, kannst du

$\begin{eqnarray*} V = \left( \vec{b} - \vec{a} \right) \left( \vec{v} \times \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \right) = \det \left( \overrightarrow{AB} , \vec{v} , \vec{u} \times \vec{v} \right) \end{eqnarray*}$

als orientiertes Volumen des von den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{v} , \vec{u} \times \vec{v}, \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ aufgespannten Spates auffassen. Und natürlich ist $\begin{eqnarray*} \left| \vec{u} \times \vec{v} \right|^2 \end{eqnarray*}$ das Quadrat des Inhalts einer Parallelogrammfläche.

05.02.2008, 20:46

ernie04

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@ mYthos siehe Leopold´s Beitrag..

@Leopold:

ok, danke. Ich muss jetzt gleich mal probieren...

...bis gleich Wink

05.02.2008, 20:59

mYthos

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Den Weg über das Spatprodukt finde ich dennoch nicht so gängig, ok, darüber kann man aber diskutieren.

Wenn nur der Abstand d gefragt ist, gibt es einen wesentlich kürzeren Weg:

$\begin{eqnarray*} d = \frac{(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})}{\mid \vec{u} \times \vec{v} \mid} \end{eqnarray*}$

mY+

05.02.2008, 21:07

ernie04

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@mYthos:

hallo,

habe diesen Lösungsweg aus einem Formelbuch und kannte bisher nur die Methode, mit der zuerst die Punkte berechnet werden. Dann ist die Berechnung des Abstands ja keine Arbeit mehr..

(Ich möchte Zeit sparen und deshalb auch meine Frage )

Ich will jetzt schnell mal, nach Leopolds Ausführungen, die Parameter der beiden Geraden berechnen und schauen ob ich so meine gesuchten Punkte schnell finde.

gleich fertig Freude

wie gesagt, ich möchte mittels Lösungsformeln etwas Zeit einsparen

Edit:

$\begin{eqnarray*} d = \frac{(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})}{\mid \vec{u} \times \vec{v} \mid} \end{eqnarray*}$
Der Zähler ist doch nichts anderes als det(b - a , u , v) nur anders geschrieben.
Ich denke mal das ist Geschmackssache Augenzwinkern

, aber auch eine Möglichkeit

Edit die 2. unglücklich

Ersten Edit ziehe ich zurück. Hab mich verkuckt geschockt

05.02.2008, 22:24

ernie04

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@Leopold & mYthos:

Danke euch für die Hilfestellung Freude

Ich bin mit den Lösungsformeln für die Geradenparameter ganz zufrieden.

$\begin{eqnarray*} \sigma = \frac{\left( \vec{b} - \vec{a} \right) \left( \vec{v} \times \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \right)}{\left| \vec{u} \times \vec{v} \right|^2} \, , \ \ \ \tau = \frac{\left( \vec{a} - \vec{b} \right) \left( \vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{u} \right) \right)}{\left| \vec{v} \times \vec{u} \right|^2} \end{eqnarray*}$

Man kann nur noch geringfügig abkürzen: (Parameter groß geschrieben, Vektoren klein)

( x : Kreuzprodukt )

Bei Parameter Sigma (S) : b - a = c ; u x v = d
c & d sind ja schon bekannt aus der Abstandsberechnung

Also kann ich im Zähler wieder det(v , d , c ) schreiben.
Oder halt c * ( v x d ), berechne aber lieber die Determinante smile

Bei Parameter Tau (T) würde ich nur im Zähler ...( u x ( v x u )) umschreiben in:

...( u x -d ) ; Alternativgesetz

a - b bleibt, also a - b = e

dann aber wieder det( u , -d , e )

Mehr fällt mir jetzt nicht ein. Falls jmd. noch kürzere Schreibweisen "findet" bitte posten.

Entschuldigt bitte meine Leihenhafte Darstellungsmethode

Grüße

05.02.2008, 23:14

Leopold

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Zitat:

Original von mYthos
Den Weg über das Spatprodukt finde ich dennoch nicht so gängig, ok, darüber kann man aber diskutieren.

Ich würde diesen Weg auch nicht empfehlen. Ich wollte nur ernie04 die Formeln für die Lotfußpunkte liefern, nach denen er gefragt hatte. Die Formeln sind sehr rechenfehleranfällig. Vor allem - wer soll sich den ganzen Wust merken? Schließlich kommt es beim Kreuzprodukt ja auch auf die Reihenfolge der Faktoren an, einmal ganz abgesehen davon, daß man sich auch bei den Koordinaten gerne verrechnet. Da ist es also allemal besser, zwei lineare Gleichungen in den Parametern $\begin{eqnarray*} \sigma,\tau \end{eqnarray*}$ aufzustellen und das 2×2-Gleichungssystem zu lösen.

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