Matrixbeweis mittels Induktion

06.02.2008, 17:06

Bongolus

Matrixbeweis mittels Induktion

Hi ihr Mathemagier und die die es werden wollen (Mathemagierlehrlinge) Gott

Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R ^{(n,n)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A - En) \end{eqnarray*}$ eine invertierbare Matrix. Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^p~A^k = (A^{p+1} - En)*(A - En)^{-1} \end{eqnarray*}$

So weit, so gut. Wenn da nicht drüberstehen würde:"Beweisen Sie folgende Aussage" -.-

Für p = 0 ist die Sache ja noch recht easy $\begin{eqnarray*} (En = En) \end{eqnarray*}$ . Aber wenn ich z.B. p=1 einsetze, kommt da ja:
$\begin{eqnarray*} A^0 + A^1 = (A^2 - En)*(A - En)^{-1} \end{eqnarray*}$
raus. Da stellen sich mir schon die Fragen:
1) Was kommt bei $\begin{eqnarray*} A^0 + A^1 \end{eqnarray*}$ raus und was kommt bei $\begin{eqnarray*} (A^2 - En)*(A - En)^{-1} \end{eqnarray*}$ raus.

Und wenn ich schon dabei bin, beweisen kann man das ja nur über die vollständige Induktion:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{p+1}~A^k = (A^{p+1} - En)*(A - En)^{-1} + (A^1 - En)*(A - En)^{-1} \end{eqnarray*}$
ist das richtig, oder liege ich da falsch?

Greetz und schonmal thx.
Bongolus

Edit mY+: Titel völlig daneben, nichtsaussagend! Hilfe braucht hier jeder! Geändert!

06.02.2008, 18:24

WebFritzi

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Oh man, vergiss es. Lazarus hat's geschrieben und ich bin nur am Editieren. unglücklich

EDIT: Dein Ansatz ist zwar falsch, aber die Idee ist richtig. Augenzwinkern

06.02.2008, 18:25

Lazarus

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Dein Ansatz für den Induktionsschluss is falsch.

Er müsste lauten $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{p+1}A^k=\left(\sum_{k=0}^{p}A^k\right)+A^{p+1}=\left(A^{p+1}-E_n\right) \cdot \left(A-E_n\right)^{-1}+A^{p+1} = ... \end{eqnarray*}$
Hab grad ned mehr Zeit, falls kein anderer macht kann ich später mehr schreiben.

06.02.2008, 20:03

Bongolus

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Jo, danke für den Induktionsansatz, leider bringt mir der nicht soviel. Da ich ja immernoch nicht aus dem

$\begin{eqnarray*} (A^{(p+1)} - En) * (A - En)^{-1} \end{eqnarray*}$

das

$\begin{eqnarray*} A^0 + A^1 + ... + A^p \end{eqnarray*}$

machen kann. unglücklich

06.02.2008, 20:46

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} A^{p+1} = A^{p+1}(A - E_n)(A - E_n)^{-1}. \end{eqnarray*}$

06.02.2008, 21:04

Bongolus

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Ja, das ist schon klar. Letzendlich haste ja nur geschrieben

$\begin{eqnarray*} A^{p+1} * En \end{eqnarray*}$

Ich muss ja aus dem (für den Fall p=1)

$\begin{eqnarray*} (A^2 - En) * (A - En)^{-1} \end{eqnarray*}$

das machen

$\begin{eqnarray*} A + (A - En) * (A - En)^{-1} \end{eqnarray*}$

Das ist ja dann das selbe wie

$\begin{eqnarray*} A^0 + A^1 \end{eqnarray*}$

und da ist bei mir echt Ende verwirrt

06.02.2008, 22:59

WebFritzi

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Nein, du sollst den Induktionsschluss von Lazarus weiterführen.

06.02.2008, 23:15

Bongolus

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JaNe, mein Problem ist nicht der Induktionsschritt (jedenfalls noch nicht -.-) ich muss ja erstmal beweisen, dass die Indutionsvorraussetzung gegeben ist.
Also eben (ich spar mir mal das Latex):
Summe(A^0, ... , A^p) = (A^(p+1) - En)(A - En)^(-1)
Da verzweifel ich schon dran und somit brauch ich nicht über den Induktionsschritt nachdenken

(Ich seh grad, war vllt. etwas unglücklich in meinem ersten Posting ausgedrückt. Sry)

06.02.2008, 23:32

Bongolus

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Hmm, obwohl. Wenn man so drüber nachdenkt. Reicht ja eingentlich im Induktionsanfang p=0 zu beweisen (war in der Aufgabenstellung auch explizit die natürlichen Zahlen mit 0 gegeben). Die Induktionsvorraussetzung nimmt man ja eh als gegeben hin
... sup, einen Nachmittag umsonst den Kopf zerbrochen -.-

06.02.2008, 23:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bongolus
JaNe, mein Problem ist nicht der Induktionsschritt (jedenfalls noch nicht -.-) ich muss ja erstmal beweisen, dass die Indutionsvorraussetzung gegeben ist.

Vielleicht liest du dir nochmal das Kapitel über vollständige Induktion in deinem Skript durch. Den Induktionsanfang hast du schon. Und in dem Wort "Induktionsvoraussetzung" steckt nicht umsonst das Wort "Voraussetzung".

07.02.2008, 07:39

Bongolus

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Joa, der Gedanke war schon da. Danke für die Hilfe, werd mich nacher mal dransetzen. Obwohl ich mich da langsam frage warum ich so blöd bin und immer wieder die Zettel versuche. -.-

@TitelEditor: Wollte eigentlich schreiben:"Bräuchte Hilfe bei ner Matrizenaufgabe" Nur ist das Matrizen irgentwie verloren gegangen. Ist auch schwer nen vielsagenden Titel zu finden, wenn man keinen Plan von der Materie hat.

Thx nochmal smile

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