Liegt Punkt in Ebene - berechnen

07.02.2008, 19:00

toobee

Liegt Punkt in Ebene - berechnen

hab hier folgenden Ebenengleichung

$\begin{eqnarray*} \vec{E} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und soll prüfen ob der Punkt in der Ebenen liegt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -11 \\ 0 \\ 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hab das mal so versucht

$\begin{eqnarray*} -11 = 5 - 2r - 4s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -16 +2r =- 4s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-16 +2r}{-4} =s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 - \frac{1}{2}r =s \end{eqnarray*}$

jetzt hab ich nur noch eine unbekannte

$\begin{eqnarray*} -11 = 5 -2r -4 *(4 -\frac{1}{2}r) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -16 = -2r -16 + 2r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -16 = -16 \end{eqnarray*}$

heist das jetzt das der punkt in der ebene liegt?

07.02.2008, 19:19

Bjoern1982

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Nein, damit drehst du dich leider nur im Kreis...denn es wird immer eine wahre Aussage rauskommen wenn du deine Gleichung nach einer Variablen auflöst und das dann wieder in die Ausgangsgleichung einsetzt.

Du könntest hier z.B. die Ebenengleichung mit dem Ortsvektor zum gegebenen Punkt gleichsetzen und dann das LGS lösen.

Gruß Björn

07.02.2008, 20:52

toobee

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mit ebenengleichung meinst du gleichung die entsteht, wenn ich die punkt-richtungs-form mit dem orthogonal-vektor der richtungsvektoren multipliziere ?!

07.02.2008, 20:55

Bjoern1982

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Zitat:

09.02.2008, 09:37

toobee

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was muss ich den machen um "r" bzw "s" berechnen zu können?

09.02.2008, 10:00

riwe

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das
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -11 \\ 0 \\ 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
lösen unglücklich

09.02.2008, 10:41

toobee

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das hab ich doch oben gemacht. ich hab versucht eine variable durch die andere auszudrücken, und bin dann auf eine immer wahre aussage rausgekomme.....

wie lös ich das den auf?

09.02.2008, 12:50

riwe

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was willst du denn noch auflösen verwirrt

wenn die aussage wahr ist, was schließt du daraus verwirrt

1) P liegt in E
2) P liegt NICHT in E

(tipp: wählen sie die farbe, die "auf los geht´s los" signalisiert unglücklich

)

10.02.2008, 11:55

toobee

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RE: Liegt Punkt in Ebene - berechnen
also ist das hier dann doch richtig? bjoern1982 sagte es sei falsch verwirrt

Zitat:

Original von toobee
hab hier folgenden Ebenengleichung

$\begin{eqnarray*} \vec{E} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und soll prüfen ob der Punkt in der Ebenen liegt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -11 \\ 0 \\ 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hab das mal so versucht

$\begin{eqnarray*} -11 = 5 - 2r - 4s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -16 +2r =- 4s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-16 +2r}{-4} =s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 - \frac{1}{2}r =s \end{eqnarray*}$

jetzt hab ich nur noch eine unbekannte

$\begin{eqnarray*} -11 = 5 -2r -4 *(4 -\frac{1}{2}r) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -16 = -2r -16 + 2r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -16 = -16 \end{eqnarray*}$

heist das jetzt das der punkt in der ebene liegt?

10.02.2008, 11:59

Bjoern1982

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So wie du es gemacht hast ist es auch falsch.
Aus dieser Gleichung einsteht ein LGS mit 3 Gleichungen...du hast nur genau eine Gleichung betrachtet.

11.02.2008, 13:52

toobee

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ok. also der weg war ansich richtig nur muss ich das ganze jetzt auch noch für die anderen 2 gleichungen mache oder bin ich immernoch auf dem holzweg?

11.02.2008, 14:00

Bjoern1982

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Leider immer noch der Holzweg.
Der Weg war halt auch schon falsch, denn es führt einfach zu nichts erst nach einer Variablen aufzulösen , um das Ergebnis dann wieder in dieselbe Gleichung einzusetzen...damit dreht man sich im Kreis und bestätigt nur diese eine Gleichung.

Du müsstest dir halt mal anschauen bzw in Büchern durchlesen wie man lineare Gleichungssysteme löst (z.B. durch das Gaußsche Eliminationsverfahren).

In deinem Fall könnte man auch eine Gleichung nach einer Variable auflösen und das Ergebins dann in eine andere Gleichung einsetzen, um nach der 2. Variable aufzulösen.
Die 3. Gleichung dient dann zur Probe.

Gruß Björn

11.02.2008, 19:28

toobee

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danke, hab die parameter r und s berechnet bekommen, stimmt mit lösung über ein.

Aber wie klappt den das prinzip nach dem gauß verfahren?

nehm ich da einfach meine punkt-richtungs-form und ignoriere r bzw. s und mach dann das gauß verfahren sturr bis ich treppenform hab?

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